Question

Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem 2a e 4a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menos lado é:

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Stefani, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa.
Tem-se que, num triângulo retângulo, a hipotenusa mede "4a" e um dos catetos mede "2a".
Dadas essas informações, pede-se a tangente do lado oposto ao menor lado (ou menor cateto, já que se trata de um triângulo retângulo).
Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos encontrar a medida  terceiro lado do triângulo retângulo (que é o 2º cateto). Assim, chamando de "x" a medida do 2º cateto e aplicando Pitágoras, teremos isto:

(4a)² = (2a)² + x² ----- desenvolvendo, teremos;
16a² = 4a² + x² ---- passando "4a²" para o 1º membro, teremos;
16a² - 4a² = x²
12a² = x² --- vamos apenas inverter, ficando:
x² = 12a²
x = ± √(12a²) ---- veja que 12 = 2².3. Assim, ficaremos com:
x = ± √(2².3.a²) ---- note que tanto o "2" como o "a", por estarem ao quadrado, sairão de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos:

x = ± 2a√(3) ------ tomando-se apenas a raiz positiva, já que a medida de um cateto não é negativa, teremos;

x = 2a√(3) <--- Esta é a medida do 2º cateto.

ii) Logo, já sabemos que os lados desse triângulo retângulo serão estes, expressos em unidades de medida = u.m.:

hipotenusa: "4a" u.m.
1º cateto: "2a"  u.m.
2º cateto: "2a√(3)" u.m.

iii) Como estamos vendo aí em cima, então o menor lado terá a medida de "2a" u.m. Assim, se construirmos o triângulo ABC (retângulo em B), teremos que o ângulo que se oporá ao menor lado ("2a" u.m.) será o ângulo C.
Assim, utilizando a lei dos cossenos, teremos (lembre-se que a lei dos cossenos é assim: c² = a²+b² - 2ab.cos(C) ):

(2a)² = (4a)² + [2a√(3)]² - 2*4a*2a√(3)*cos(C) ---- desenvolvendo, temos:
4a² = 16a² + 4a²*3 - 16a² * √(3).cos(C)
4a² = 16a² + 12a² - 16a² * √(3).cos(C)
4a² = 28a² - 16a² * √(3).cos(C) ---- passando "28a²" para o 1º membro:
4a² - 28a² = - 16a² * √(3).cos(C)
- 24a² = - 16a² * √(3).cos(C) ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos com:

24a² = 16a² * √(3).cos(C) ----- vamos apenas inverter, ficando:
16a²*√(3).cos(C) = 24a² ---- isolando cos(C), teremos;
cos(C) = 24a²/16a².√(3) ---- simplificando-se numerador e denominador por "8a²", ficaremos apenas com:

cos(C) = 3 / 2√(3) ---- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(3). Assim:

cos(C) = 3*√(3) / 2√(3)*√(3) ----- efetuando os produtos indicados, teremos;
cos(C) = 3√(3) / 2*3
cos(C) = 3√(3) / 6 ---- simplificando-se numerador e denominador por "3", iremos ficar apenas com:

cos(C) = √(3) / 2

Note que o ângulo agudo cujo cosseno é "√(3) / 2" é o ângulo de 30º. Assim, como é pedido o valor da tangente desse ângulo, e considerando que tan(30º) = √(3) / 3, então temos que:

tan(30º) = √(3) / 3 <--- Esta é a resposta. Opção "b".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.