Question

Se U, V, P, Q e S são números reais não nulos e os números P, Q, S formam, nesta ordem, uma progressão geometrica crescente e se, além disso, o determinante da matriz
u 2u 4u
v 3v 9v
p q s

for igual a zero, então, razão da progressão geométrica pode ser:
a) 2 ou 3.
b) 3 ou 4.
c) 1,5 ou 3.
d) 2,5 ou 4.​

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Answer 1

A razão da progressão geométrica só pode ser 2 ou 3.

Se os números p, q e s formam uma progressão aritmética de razão x, então podemos dizer que:

q = p.x

s = p.x²

Assim, podemos substituir os valores de q e s na matriz e calcular o determinante:

det = u.3v.p.x² + 2u.9v.p + 4u.v.p.x - p.3v.4u - p.x.9v.u - p.x².v.2u

det = x²(3pvu - 2pvu) + x(4pvu - 9pvu) + 18pvu - 12pvu

det = x²(pvu) + x(-5pvu) + 6pvu

Sendo pvu uma constante k, temos a seguinte equação do segundo grau:

k.x² - 5kx + 6k = 0

Dividindo a equação por k, temos:

x² - 5x + 6 = 0

Pela fórmula de Bhaskara, as raízes dessa equação são 3 e 2.

Resposta: A