Question

se tg x = m e tg 2x =3m,m>0,entao o angulo agudo x mede : a.(15) b.(30) c.(45) d.(60) e.(nra)

Answer 1

Identidade trigonométrica da tangente do arco duplo:

$\mathrm{tg\,}2x=\dfrac{2\mathrm{\,tg\,}x}{1-\mathrm{tg^{2}\,}x}$


De acordo com o enunciado, temos

$\mathrm{tg\,}x=m\;\text{ e }\;\mathrm{tg\,}2x=3m,\;\;\;m>0$


Substituindo na identidade trigonométrica, temos

$3m=\dfrac{2m}{1-m^{2}}\\ \\ 3m\,(1-m^{2})=2m\\ \\ 3m-3m^{3}=2m\\ \\ 3m^{3}+2m-3m=0\\ \\ 3m^{3}-m=0\\ \\ m\,(3m^{2}-1)=0\\ \\ \begin{array}{rcl} m=0\text{ (n\~{a}o serve)}\;\;&\text{ ou }&\;\;3m^{2}-1=0 \end{array}\\ \\ 3m^{2}-1=0\\ \\ 3m^{2}=1\\ \\ m^{2}=\dfrac{1}{3}\\ \\ m=\pm \sqrt{\dfrac{1}{3}}\\ \\ m=\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}\\ \\ m=\pm \dfrac{1\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}\\ \\ m=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$


Como $m>0,$ desprezamos o valor negativo e temos

$m=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\ \\ x=30^{\circ}$


Resposta: alternativa $\text{b. }30^{\circ}.$