Question

Se tg alfa= 2 e 180 < alfa < 270 Então qual o valor do cos de alfa

Answer 1

$\mathrm{tg\,}\alpha=2,\;\text{ onde }180^{\circ}\leq \alpha \leq 270^{\circ}$

Encontrando a secante de $\alpha$:

$\sec^{2} \alpha=1+\mathrm{tg^{2}\,}\alpha\\ \\ \sec^{2} \alpha=1+\left(2 \right )^{2}\\ \\ \sec^{2} \alpha=1+4\\ \\ \sec^{2} \alpha=5$


Mas a secante é o inverso do cosseno. Então,

$\left(\dfrac{1}{\cos \alpha} \right )^{2}=5\\ \\ \dfrac{1}{\cos^{2} \alpha}=5\\ \\ \cos^{2} \alpha=\dfrac{1}{5}\\ \\ \cos \alpha=\pm \sqrt{\dfrac{1}{5}}\\ \\ \cos \alpha=\pm \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}\\ \\ \cos \alpha=\pm \dfrac{1}{\sqrt{5}}$


Como $\alpha$ é do 3º quadrante, o seu cosseno é negativo. Logo,

$\cos \alpha=- \dfrac{1}{\sqrt{5}}$