Question

se tg a= 5/4 calcule sen a, cos a, sec a

Answer 1

$tg(a) = \frac{5}{4} \\ tg(a) = \frac{sen(a)}{cos(a)} \\ sen(a) = \frac{5}{4} cos(a)$

$sen^{2}(a) + cos^{2}(a) =1 \\ \frac{25}{16} cos^{2}(a) + cos^{2}(a) = 1 \\ cos(a) = +- \frac{4}{ \sqrt{41} }$
Mas ele é positivo, pois está no primeiro quadrante

$sen(a) = \frac{5}{4}cos(a) \\ sen(a) = \frac{5}{ \sqrt{41} }$

e a $sec(a) = \frac{1}{cos(a)} \\ sec(a) = \frac{ \sqrt{41} }{4}$

Answer 2

Da equação fundamental da trigonometria temos:

$sen^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$

Dividindo tudo por $cos^{2}\alpha$:

$\frac{sen^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha} + \frac{cos^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha} = \frac{1}{cos^{2}\alpha} \rightarrow tg^{2}\alpha + 1 = sec^{2}$

Ou seja: $sec \ \alpha = \sqrt{tg^{2}\alpha + 1} = \sqrt{(\frac{5}{4})^{2} + 1} = \sqrt{ \frac{25}{16}+1} = \frac{ \sqrt{41} }{4}$

E para encontrar o seno e o cosseno vamos recorrer a:

$tg \ \alpha = \frac{sen \alpha}{cos \alpha} = \frac{5}{4} \rightarrow sen\alpha = \frac{5}{4} cos \alpha$

Substituindo isso na equação fundamental da trigonometria temos:

$(\frac{5.cos\alpha}{4})^{2} + cos^{2}\alpha = 1 \rightarrow \frac{25}{16}cos^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1 \rightarrow \frac{41}{16}cos^{2}\alpha = 1$

Logo: $cos\alpha = \sqrt{ \frac{16}{41} } = \frac{4}{ \sqrt{41} } = \frac{4 \sqrt{41} }{41}$

E o seno seria:

$sen\alpha = \sqrt{1 - cos^{2}\alpha} = \sqrt{1 - \frac{16}{41} } = \sqrt{ \frac{25}{41} } = \frac{5}{ \sqrt{41} } = \frac{5 \sqrt{41} }{41}$

Espero ter ajudado.
Bons estudos.