Question

Se,

$x + \frac{1}{x} = - 1$

Calcule:

${x}^{1994} + \frac{1}{ {x}^{1994} }$

(Gabarito: -1)

#Cálculo e explicação

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Emanueli, que a resolução não é das mais simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se: sabendo-se que "x + 1/x = -1", então calcule o valor da seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = x¹⁹⁹⁴ + 1/x¹⁹⁹⁴.

ii) Verificando com bem calma, concluímos uma coisa bem curiosa: se tomarmos x + 1/x e fizermos x⁰ +1/x⁰ , vamos encontrar uma resposta igual a "2".
Se tomarmos x¹ + 1/x¹, que é o que já está dado, vamos encontrar o valor de "-1".
Se tomarmos x² + 1/x², vamos encontrar que o valor também de "-1"
Se tomarmos x³ + 1/x³, vamos encontrar que o valor será igual a "2".
Se tomarmos x⁴ + 1/x⁴, vamos encontrar que o valor será igual a "-1"
Se tomarmos x⁵ + 1/x⁵, vamos encontrar que o valor será igual a "-1".
E assim vai, com ciclos de 3 em 3, ou seja: temos:

x⁰ + 1/x⁰ = 2
x¹ + 1/x¹ = -1
x² + 1/x² = -1
x³ + 1/x³ = 2
x⁴ + 1/x⁴ = -1
x⁵ + 1/x⁵ = -1
x⁶ + 1/x⁶ = 2
E assim, como você vê a cada ciclo de "3" repete-se tudo.
Então, a exemplo das potências de "i" (quando o ciclo é de 4 em 4), aqui o ciclo será de "3" em "3".
Se nos complexos, quando o expoente é maior do que 4, divide-se por "4" e utiliza-se o resto que der como potência do "i", aqui, no nosso caso, quando o expoente for maior do que "3" divide-se esse expoente por "3" e utiliza-se o resto como a potência válida.
Assim, se queremos saber o valor de x¹⁹⁹⁴ + 1/x¹⁹⁹⁴ , então dividiremos 1994 por "3" e vemos que dá quociente 664 e resto igual a 2. Assim:

x¹⁹⁹⁴ + 1/x¹⁹⁹⁴ = x² + 1/x² = - 1 <---- Esta é a resposta.

OK?
Adjemir.