Question

se $x^{3}+px+q$ é divisível por $x^{2}+ax+b$ e $x^{2}+rx+s$, demonstrar que $b=-r(a+r)$

Answer 1

Dividamos a resolução em duas partes:

Parte I: divisão de $x^3 + px + q$ por $x^2 + ax + b$.

x³ + px + q ------------ | x² + ax + b
--------------------------- | x - a
+ x³ + px + q --------- |
- x³ - ax² - bx --------- |
--------------------------- |
- ax² + (p - b)x + q -- |
+ ax² + a²x + ab ----- |
--------------------------- |
(a² - b + p)x + (q + ab) =====> resto.

 Já que a divisão é exacta, temos que $\begin{cases} a^2 - b + p = 0 \\ q + ab = 0 \end{cases}$.

 
Parte II: divisão de $x^3 + px + q$ por $x^2 + rx + s$.

x³ + px + q ------------ | x² + rx + s
--------------------------- | x - r
+ x³ + px + q --------- |
- x³ - rx² - sx ---------- |
--------------------------- |
- rx² + (p - s)x + q --- |
+ rx² + r²x + rs ------- |
--------------------------- |
(r² - s + p)x + (q + rs) =====> resto.

 Já que a divisão é exacta, temos que $\begin{cases}r^2-s+p=0 \\ q + rs = 0 \end{cases}$.

 Igualando a primeira equação do sistema I com a primeira equação do sistema II; e fazendo o mesmo com as segundas equações dos sistema I e II, teremos: $\begin{cases} a^2 - b + p = r^2 - s + p \\ ab = rs \end{cases}$ que é o mesmo que $\begin{cases} a^2 - b = r^2 - s \\ ab = rs \end{cases}$.

 Agora vem a mágica!! [risos]

Da segunda equação,

$ab = rs \\\\ \frac{a}{r} = \frac{s}{b} \\\\ \frac{s}{b} = \frac{a \cdot k}{r \cdot k} \Rightarrow \begin{cases} s = ak \\ b = rk \end{cases}$

 Substituindo-a na primeira equação,

$a^2 - b = r^2 - s \\ a^2 - r^2 = b - s \\ (a + r)(a - r) = rk - ak \\ (a + r)(a - r) = - k(a - r) \;\; \div(a - r) \\ a + r = - k$

 Por fim, resta-nos substituir "k" por uma das duas fracção, ou seja, substituir k por $\frac{s}{a}$ ou $\frac{b}{r}$.

 Isto posto, chegamos a seguinte conclusão:

$a + r = - k \\\\ a + r = - \frac{b}{r} \\\\ \boxed{\boxed{b = - r(a + r)}}$

Q.E.D