Question

Se $(x_{1},x_{2} ,x_{3})$ são raízes de

${x}^{3} - x + 2 = 0$

Encontre:

N=${x}^{12} _{ 1} + {x}^{12} _{2} + {x}^{12} _{3}$


#Cálculo e explicação

Answer 1

Para resolvermos essa questão, podemos utilizar um conceito chamado Soma de Newton. Definimos uma Soma de Newton $S_k$ como a soma das k-ésimas potências das raízes de um polinômio. Partindo dessa definição, podemos obter propriedades interessantes, como a que vemos a seguir:

Lema: Considere um polinômio P(x) de grau n tal que:

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$

Se $\{x_1,x_2,...,x_n\}$ é o conjunto das raízes de P(x) e $S_k=x_1^k+x_2^k+...+x_n^k$, podemos escrever a seguinte relação de recorrência:

$\boxed{a_nS_k+a_{n-1}S_{k-1}+...+a_1S_{k-n+1}+a_0S_{n-k}=0}$

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Prova: Como $\{x_1,x_2,...,x_n\}$ é conjunto das raízes do polinômio:

$\begin{cases}a_nx_1^n+a_{n-1}x_1^{n-1}+...+a_1x_1+a_0=0 \\ a_nx_2^n+a_{n-1}x_2^{n-1}+...+a_1x_2+a_0=0 \\ ... \\ a_nx_n^n+a_{n-1}x_n^{n-1}+...+a_1x_n+a_0=0\end{cases}$

Multiplicando a primeira linha por $x_1^{k-n}$, a segunda por $x_2^{k-n}$ e assim por diante, obtemos:

$\begin{cases}a_nx_1^{k}+a_{n-1}x_1^{k-1}+...+a_1x_1^{k+1-n}+a_0x_1^{k-n}=0 \\ a_nx_2^{k}+a_{n-1}x_2^{k-1}+...+a_1x_2^{k+1-n}+a_0x_2^{k-n}=0 \\ ... \\ a_nx_n^{k}+a_{n-1}x_n^{k-1}+...+a_1x_n^{k+1-n}+a_0x_n^{k-n}=0\end{cases}$

Somando todas as linhas:

$a_n(\overbrace{x_1^k+x_2^k+...+x_n^k}^{S_k})+a_{n-1}(\overbrace{x_1^{k-1}+x_2^{k-1}+...+x_n^{k-1}}^{S_{k-1}})+...\\\\ ~\hspace{5cm}...+a_0(\underbrace{x_1^{k-n}+x_2^{k-n}+...+x_n^{k-n}}_{S_{k-n}})=0\\\\ \boxed{a_nS_k+a_{n-1}S_{k-1}+...+a_1S_{k+1-n}+a_0S_{k-n}=0}$

Que é a fórmula de recorrência que havíamos proposto. $~~~\blacksquare$

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Na questão dada, temos:

$P(x)=x^3-x+2=0$

Pelo lema que vimos:

$a_3S_{k}+a_2S_{k-1}+a_1S_{k-2}+a_0S_{k-3}=0\\\\ 1\cdot S_{k}+0\cdot S_{k-1}-1\cdot S_{k-2}+2\cdot S_{k-3}=0\\\\ S_{k}-S_{k-2}+2S_{k-3}=0$

Queremos calcular $S_{12}=x_1^{12}+x_2^{12}+x_3^{12}$. Para isso, vamos, de início, encontrar as 3 primeiras somas, já que a recorrência é estabelecida com base nos 3 termos anteriores.

Como 0 não é raiz do polinômio, podemos afirmar que:

$S_0=x_1^0+x_2^0+x_2^0=1+1+1\Longrightarrow S_0=3$

Além disso:

$S_1=x_1^1+x_2^1+x_3^1\Longrightarrow S_1=x_1+x_2+x_3$

Que nada mais é que a soma das raízes do polinômio. Para encontrarmos seu valor, podemos usar as Relações de Girard:

$S_1=(-1)^{1}\cdot \dfrac{a_{n-1}}{a_n}=(-1)\cdot \dfrac{0}{1}\Longrightarrow S_1=0$

Para calcularmos $S_2$, vamos analisar o seguinte produto notável:

$(\underbrace{x_1+x_2+x_3}_{S_1=0})^2=\underbrace{x_1^2+x_2^2+x_3^2}_{S_2}+2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)\\\\ 0=S_2+2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)\\\\ S_2=-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$

Novamente, podemos utilizar as Relações de Girard para calcularmos o produto das raízes duas a duas dentro do parênteses da última igualdade:

$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=(-1)^{2}\cdot\dfrac{a_{n-2}}{a_n}=1\cdot\dfrac{(-1)}{1}\\\\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-1$

Logo, $S_2=2$.

Agora, vamos utilizar a relação de recorrência e calcularemos os valores de $S_k$ com k partindo dos menores índices até chegarmos em $S_{12}$, isto é, em k = 12:

$S_{k}-S_{k-2}+2S_{k-3}=0\\\\\\ S_{3}-S_{1}+2S_{0}=0\Longrightarrow S_3-0+2\cdot1=0\Longrightarrow S_3=-2\\\\ S_{4}-S_{2}+2S_{1}=0\Longrightarrow S_4-2+2\cdot0=0\Longrightarrow S_4=2\\\\ S_{5}-S_{3}+2S_{2}=0\Longrightarrow S_5-(-2)+2\cdot2=0\Longrightarrow S_5=-6\\\\ S_{6}-S_{4}+2S_{3}=0\Longrightarrow S_6-2+2\cdot(-2)=0\Longrightarrow S_6=6\\\\ S_{7}-S_{5}+2S_{4}=0\Longrightarrow S_7-(-6)+2\cdot2=0\Longrightarrow S_7=-10\\\\ S_{8}-S_{6}+2S_{5}=0\Longrightarrow S_8-6+2\cdot(-6)=0\Longrightarrow S_8=18$

$S_{9}-S_{7}+2S_{6}=0\Longrightarrow S_9-(-10)+2\cdot6=0\Longrightarrow S_9=-22\\\\ S_{10}-S_{8}+2S_{7}=0\Longrightarrow S_{10}-18+2\cdot(-22)=0\Longrightarrow S_{10}=62$

Então:

$S_{12}-S_{10}+2\cdot S_9=0\\\\ S_{12}-62+2\cdot(-22)=0\\\\ S_{12}-62-44=0\\\\ S_{12}=146\Longrightarrow \boxed{\boxed{N=146}}$

Portanto, o valor de N é 146.