Question

Se $\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = 1$, então quanto vale:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{f(3\cdot x)}{x}$
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Answer 1

O exercício nos fornece o seguinte limite de uma função f(x) univariada:

$\large\begin{array}{l}\mathsf{\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}=1\qquad(i)}\end{array}$

Baseando-se no resultado acima, ele solicita o valor de:

$\large\begin{array}{l}\mathsf{\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(3x)}{x}\qquad(ii)}\end{array}$

É claramente perceptível que, na expressão (i), a variável real x está tendendo a zero. Em consequência disso, o argumento 3x (seu triplo) de f em (ii) também está se anulando (tornando-se zero). Portanto, podemos escrever:

$\large\begin{array}{l}\mathsf{x\rightarrow0\ \ \iff\ \ 3x\rightarrow0}\end{array}$

Como podemos ver, as duas expressões situadas imediatamente acima são equivalentes. Desse modo, o limite (ii) torna-se igual a:

$\large\begin{array}{l}\mathsf{\displaystyle\lim_{\, 3x\to0}\dfrac{f(3x)}{x}\qquad(iii)}\end{array}$

E por último, o limite desejado — agora indicado por (iii) — é obtido tal como se segue:

$\large\begin{array}{l}\quad \mathsf{\displaystyle\lim_{3x\to0}\dfrac{f(3x)}{x}}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\lim_{3x\to0}\left[3\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{f(3x)}{x}}\right]\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\lim_{3x\to0}\left[3\cdot\dfrac{f(3x)}{3x}\right]}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\lim_{3x\to0}3\,\cdot\,\underbrace{\mathsf{\displaystyle\lim_{3x\to0}\dfrac{f(3x)}{3x}}}_{1}}\\\\ \mathsf{=3\cdot1}\\\\ \mathsf{=3}\end{array}$

O que equivale a escrever:

$\boxed{\boxed{\boxed{\Large\begin{array}{l}\mathsf{\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(3x)}{x}=3}\end{array}}}}$

Um grande abraço!