Question

Se $\left \{ {{2log _{y}x + (log _{x}y) ^{-1} = 6 } \atop {x-y = 12}} \right.$ , com x >1 e y>1, então o valor de x+y é:

a)12
b)18
c)20
d)24
e)36

Answer 1

Oi Blaami.

Primeiro vamos ajeitar esse Log para que ele fique certinho. Uma propriedade do Log diz que o expoente do Logaritmando pode ir na frente do Log multiplicando, então podemos fazer esse caminho de volta, aquele 2 está multipkicando o Log, então podemos trazer ele para ser expoente do X. O outro Log está com expoente negativo, basta trocar a base pelo Logaritmando que aquele expoente some.
Então vai ficar assim.

$2Log_{ y }x\quad +\quad (Log_{ x }y)^{ -1 }=6\\ x\quad -\quad y=12\\ \\ Log_{ y }x^{ 2 }\quad +\quad Log_{ y }x=6\\ x\quad -\quad y=12$

Agora as bases são iguais, então eu posso usar outra propriedade, que diz que quando tivermos uma soma podemos multiplicar os Log.

$Log_{ y }x^{ 2 }*x=6\\ x\quad -\quad y=12\\ \\ Log_{ y }x^{ 3 }=6\\ x\quad -\quad y=12$

Agora é só usar a regra da voltinha para eliminar esse Log.

$y^{ 6 }=x^{ 3 }\\ x\quad -\quad y=12\\ \\ y^{ 2 }=x\\ x\quad -\quad y=12$

Agora é só substituir esse X por y² na equação de baixo.

$x\quad -\quad y=12\\ y^{ 2 }-y-12=0$

Caímos em uma equação de 2° grau, irei resolver por Soma e Produto.

$S=-3+4=1\\ P=-3*4=-12$

O exercício fala que x>1, então esse -3 está descartado.
Agora é só substituir o 4 pelo Y.

$x=y^{ 2 }\\ x=4^{ 2 }\\ x=16$

Achamos o valor de x, agora é só substituir na equação e encontraremos y.

$x-y=12\\ 16-y=12\\ 16-12=y\\ 4=y$

Então temos:
X=16
Y=4

X+y=?

$16+4=20$

R:C