Question

Se,

$J - K = 3 \\ \\ {J}^{2} + {K}^{2} = 7$

Calcule:

${J}^{3} - {K}^{3}$

( Gabarito: 18 )

#Cálculo e explicação

Answer 1

$J-K =3$ (I)
$J^2 +K^2 = 7$ (II)
$J^3 -K^3 = ?$ (III)

Eleva ao quadrado (I)

$(J-K)^2 =3^2$ 
$J^2-2JK+K^2=9$

Substitui o valor de (II) na (I)^2

$7-2JK=9$
$-2JK=2$
$JK = -1$

Agora só desenvolver a (II) e substituir os valores 

$J^3 -K^3 = ?$
$(J-K)(J^2+JK+K^2)= ?$
$3( J^2+K^2+JK) =?$
$3(7+JK) =?$
$3(7-1) = ?$
$21 -3 =18$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Emanueli, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se o valor de "J³ - K³", sabendo-se das seguintes informações:

J - K = 3          . (I)
J² + K² = 7      . (II)

ii) Primeiro veja que aprendemos, quando vimos produtos notáveis, que a diferença entre dois cubos da forma: a³ - b³,  é equivalente a:

a³ - b³ = (a-b)*(a²+ab+b²)

Nesse caso, a diferença pedida, que é "J³ - K³" será:

J³ - K³ = (J-K)*(J² + JK + K²) ----- vamos apenas ordenar, ficando assim:
J³ - K³ = (J-K)*(J² + K² + JK)        

Mas note que o enunciado da questão já deu que: J-K = 3, e que J²+K² = 7. Então vamos substituir na expressão que acabamos de encontrar acima. Vamos apenas repetir a expressão que acabamos de encontrar, que é esta:

J³ - K³ = (J-K)*(J² + K² + JK) ---- substituindo-se "J-K" por "3" e "J²+K²" por "7", iremos ficar da seguinte forma:

J³ - K³ = 3*(7 + JK)         . (III)

iii) Mas note que ainda temos que saber qual é o valor de "JK". E, para isso, vamos na expressão (I) e vamos elevá-la ao quadrado. A expressão (I) é esta:

J - K = 3 ---- elevando ambos os membros ao quadrado, teremos :
(J-K)² = 3² ---- desenvolvendo, teremos:
J² - 2JK + K² = 9 ---- vamos ordenar, ficando assim:
J² + K² - 2JK = 9 ---- mas como "J²+K²" é igual a 7, pois isto está dado no enunciado da questão, então vamos substituir "J²+K²" por "7". Fazendo isso, ficaremos assim:

7 - 2JK = 9 ---- passando "7" para o 2º membro, teremos:
- 2JK = 9 - 7
- 2JK = 2 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos com:
2JK = - 2 ---- isolando JK, teremos:
JK = -2/2
JK = - 1 <--- Este é o valor de JK de que precisávamos para encontrar o valor da expressão (III), que é esta:

J³ - K³ = 3*(7 + JK) ---- substituindo-se "JK" por "-1", conforme acabamos de encontrar aí em cima, iremos ficar com:

J³ - K³ = 3*(7 + (-1)) ---- retirando-se os parênteses de (-1), ficaremos com:
J³ - K³ = 3*(7 - 1) ----- como "7-1 = 6", teremos:
J³ - K³ = 3*(6) ---- ou apenas:
J³ - K³ = 3*6 ---- como 3*6 = 18, então teremos que:
J³ - K³ = 18 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor pedido de J³ - K³.

É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?

OK?
Adjemir.