Question

Se $i$ é a unidade imaginária, qual é o valor da soma $i+i^2+i^3+...+i^{49}+i^{50}$ ? Apresente no mínimo dois métodos distintos de resolução.

Resposta que não seguir corretamente a instrução e que estiver incompleta será eliminada.
Ponto fácil.
Divirtam-se! :D

Answer 1

Primeiro método:

Temos que:

$i=i, ~~~~i^2=(-1),~~~~i^3=-i~~~~i^4=1,$

$i^5=i~~~~,i^6=(-1),~~~~i^7=-i,~~~~i^{8}=1$,

$\dots$

De modo geral, $i^{4n}=1,~i^{4n+1}=i~,i^{4n+2}=-1$ e $i^{4n+3}=-i$, de modo que,

$i^{4n}+i^{4n+1}+i^{4n+2}+i^{4n+3}=1+i+(-1)+(-i)=0$.

Isto nos garante que se escolhermos quatro potências consecutivas de $i$, a soma delas será zero.

Com isso, $i+i^2+i^3+\dots+i^{49}+i^{50}=i^{49}+i^{50}$, pois $50=4\cdot12+2$.

Como $49=4\cdot12+1$, temos $i^{49}=i$.

Analogamente, sendo $50=4\cdot12+2$, segue que, $i^{50}=-1$.

Logo:

$i+i^2+i^3+\dots+i^{49}+i^{50}=i-1$.


Segundo método:

$i+i^2+i^3+\dots+i^{49}+i^{50}$

Essa sequência forma uma $PG$ de $50$ termos, com razão igual a $i$ e $a_1=i$.

Deste modo, $i+i^2+i^3+\dots+i^{49}+i^{50}=\dfrac{i\cdot(i^{50}-1)}{i-1}$.

$i+i^2+i^3+\dots+i^{49}+i^{50}=\dfrac{i^{51}-i}{i-1}$.

Como $51=4\cdot12+3$, temos $i^{51}=-i$ e, portanto:

$i+i^2+i^3+\dots+i^{49}+i^{50}=\dfrac{-i-i}{i-1}$

$i+i^2+i^3+\dots+i^{49}+i^{50}=\dfrac{-2i}{i-1}=i-1$

Já que, $(i-1)^2=i^2-2i+1=(-1)-2i+1=-2i$