Question

Se $f$ é uma função crescente, prove que

$f\big(\min\{x,y\}\big)=\min\big\{f(x),f(y)\big\}$

onde

$\min\{a,b\}=\begin{cases}a,\,\,\,\mathsf{se\,a\le b}\\b,\,\,\,\mathsf{caso\,contr\'ario}\end{cases}$

é a função mínimo (retorna o mínimo entre dois valores).

Answer 1

f é crescente se $x\leq y\Longrightarrow f(x)\leq f(y)$
Caso $a\leq b$
Min {a,b} = a
f(min{a,b}) = f(a)

Como f é crescente então $f(a)\leq f(b)$, é decir
min {f(a),f(b)} = f(a)

finalmente: f(min{a,b}) = min {f(a),f(b)}