Question

Se $A=\left[\begin{array}{ccc}3&-2\\-4&3\end{array}\right] ,$ ache B, de modo que B² = A.

Answer 1

Resposta:

Sendo:

B= | a b |

| c d |

Temos:

a'= -/+ 1

a"= -/+ raiz(2)

b'= +/- 1

b"= +/- raiz(2)/2

c'= +/- 2

c"= +/- raiz(2)

d'= -/+ 1

d"= -/+ raiz(2)

Explicação passo-a-passo:

Seja B dado pela matriz abaixo:

B= | a b |

| c d |

Logo, B^2 é dado por:

| a b |

| c d |

| a b | | a^2+bc ab+bd |

| c d | | ac+cd bc+d^2 |

Logo:

B^2 = | a^2+bc ab+bd | = | 3 -2 |

| ac+cd bc+d^2 | | -4 3 |

Portanto, temos:

a^2 + bc = 3 (I)

ab + bd = -2 (II)

ac + cd = -4 (III)

bc + d^2 = 3 (IV)

De (I):

bc= 3 - a^2

Substituindo bc em (IV):

3 - a^2 + d^2 = 3

-a^2 + d^2 = 0 (vezes -1)

a^2 - d^2 = 0

a^2 = d^2

a = d

De (II) e (III):

b. (a+d) = -2 => a+d = -2/b

c. (a+d) = -4 => a+d = -4/c

Igualando a+d = a+d

-2/b = -4/c

-2c = -4b (div. -2)

c = 2b

Substituindo a=d e c=2b no sistema, temos:

d^2 + b.2b = 3 (I')

db + bd = -2 (II')

d2b + 2bd = -4 (III')

b2b + d^2 = 3 (IV')

d^2 + 2b^2 = 3 (I')

db + bd = -2 (II')

2bd + 2bd = -4 (III')

2b^2 + d^2 = 3 (IV')

d^2 + 2b^2 = 3 (I')

2bd = -2 (II') (vezes 1/2)

4bd = -4 (III') (vezes 1/4)

d^2 + 2b^2 = 3 (I')

bd = -1 (II')

bd = -1 (III')

d^2 + 2b^2 = 3 (I')

bd = -1 (II')

De (II'):

d= -1/b

Substituindo em (I'):

(-1/b)^2 + 2b^2 = 3

1/b^2 + 2b^2 = 3

1 + 2b^4 = 3b^2

2b^4 - 3b^2 + 1 = 0

Fazendo b^2 = u, temos:

2u^2 - 3u + 1 = 0

u= (3 +/- raiz((-3)^2 - 4.2.1))/(2.2)

u= (3 +/- raiz(9 - 8))/4

u= (3 +/- raiz(1))/4

u= (3 +/- 1)/4

u'= (3+1)/4 = 4/4 = 1

u"= (3-1)/4 = 2/4 = 1/2

Como b^2=u => b=raiz(u):

b'=raiz(u') => b'= raiz(1) => b'= +/- 1

b"=raiz(u") => b"= raiz(1/2) = b"= +/- raiz(2)/2

Logo, como d= -1/b:

d'= -1/(+/- 1) => d'= -/+ 1

d"= -1/(+/- raiz(2)/2) => d"= -/+ raiz(2)

a=d, logo:

a'= -/+ 1

a"= -/+ raiz(2)

c= 2b, logo:

c'= +/- 2

c"= +/- raiz(2)

Blz?

Abs :)