Question

Se T: R2 → R2 é uma transformação linear resultante de uma expansão por um fator 2 na direção de x , seguida de uma simetria em relação ao eixo x, assinale a alternativa que representa a matriz [T].

A)


B)


C)


D)


E)

Answer 1

Resposta:

$[\text{T}] = \left[\begin{array}{ccc}2&0\\0&-1\end{array}\right]$

Resolução:

Já que a transformação T expande R² por um fator de 2 apenas na direção de x, podemos achar a matriz correspondente apenas calculando os vetores transformados da base canônica de R². Sabendo que T(x, y) = (2x, -y), temos

T(1, 0) = (2, 0)

T(0, 1) = (0, -1)

Para construir a matriz, basta escrever as colunas sendo iguais a esses vetores transformados.

$[\text{T}] = \left[\begin{array}{ccc}2&0\\0&-1\end{array}\right]$

Adendo:

Pode não estar claro, mas dizemos que T(x, y) = (2x, -y) pois, se R é a transformação de expansão por um fator de 2 na direção de x e S é a transformação de reflexão em relação ao eixo x (simetria em relação ao eixo x), teremos R(x, y) = (2x, y) e S(x, y) = (x, -y) e, já que T = S ∘ R, temos o resultado desejado.