Question

Se senx + seny = √15/3 e cosx + cos y = 1, então sec (x-y) é igual a

Answer 1

Do enunciado temos:
senx + seny = \/15¬/ 3
cosx + cosy = 1
Elevando ao quadrado, membro a membro, cada uma das equações, obtemos:
sen2x + 2senxseny + sen2y = 5/3 (1) --> \/15¬/3 --> 15/9--> 5/3
cos2x + 2cosxcosy + cos2y = 1 (2)
Somando (1) e (2) vem:
sen2x + cos2x + 2 ⋅ (cosxcosy + senxseny) + sen2y + cos2y = 8/3
2 + 2cos(x – y) = 8/3
cos(x – y) = 1/3
Assim, sec(x – y) = 3
Resposta: D

Answer 2

Com o estudo sobre relação fundamental encontramos como resposta sec(x-y)=3

Relação fundamental da trigonometria

A relação fundamental é obtida a partir de um conceito muito empregado em geometria plana. Em uma circunferência trigonométrica, podemos observar um triângulo COP, em que P é uma das extremidades do arco AP, que mede α e possui coordenadas( cosα;senα). Assim, os lados OC e CP desse triângulo medem, respectivamente cos(α) e sen(α).

Aplicando o teorema de Pitágoras nesse triângulo, obtém-se a relação fundamental da Trigonometria.

• $sen^2\alpha +cos^2\alpha =1$

Essa relação é válida para qualquer arco AP que esteja na circunferência trigonométrica, mesmo se o ponto P pertencer a algum dos eixos. Por exemplo, tomando-se o ponto P sobre 90°, obtemos:

• $sen^2\left(\frac{\pi }{2}\right)+cos^2\left(\frac{\pi }{2}\right)=1^2+0^2=1$

Observação:

$sec\left(\alpha \right)=\frac{1}{cos\left(\alpha \right)}$

Com isso podemos resolver o exercício

• $sec\left(x-y\right)\:=\:\frac{1}{cos\left(x-y\right)}$

• $cos\:\left(x-y\right)\:=\:cos(x)cos(y)\:+\:sen(x)sen(y) (I)$

Elevando ambas as igualdades ao quadrado e somando:

• $sen^2\left(x\right)\:+\:sen^2\left(y\right)\:+\:2sen\left(x\right)sen\left(y\right)\:=\:\frac{15}{9}$

• $cos^2\left(x\right)\:+\:cos^2\left(y\right)\:+\:2cos\left(x\right)cos\left(y\right)\:=\:1$

• $sen^2\left(x\right)\:+\:cos^2\left(x\right)\:+\:sen^2\left(y\right)+\:cos^2\left(y\right)\:+\:2sen\left(x\right)sen\left(y\right)\:+\:2cos\left(x\right)cos\left(y\right)\:=\:1\:+\:\frac{15}{9}$

Lembrando da relação fundamental (sen²x + cosx² = 1):

• $1\:+\:1\:+\:2sen\left(x\right)sen\left(y\right)\:+\:2cos\left(x\right)cos\left(y\right)\:=\:\frac{24}{9}$

• $2sen\left(x\right)sen\left(y\right)\:+\:2cos\left(x\right)sen\left(y\right)\:=\:\frac{6}{9}$

• $sen\left(x\right)sen\left(y\right)\:+\:cos\left(x\right)cos\left(y\right)\:=\:\frac{1}{3}\:\left(II\right)$

Logo, $cos\left(x-y\right)\:=\:\frac{1}{3}$

Assim,

$sec\left(x-y\right)\:=\:\frac{1}{cos\left(x-y\right)}\:=\:3$

Saiba mais sobre secante:https://brainly.com.br/tarefa/20622711

#SPJ2