Question

Se senx=0,8 e x pertence ao primeiro quadrante,determine o valor de tg2x

Answer 1

$\mathrm{sen\,}x=0,8$


Utilizando a Relação Fundamental da Trigonometria, temos

$\cos^{2}x+\mathrm{sen^{2}\,}x=1\\ \\ \cos^{2}x=1-\mathrm{sen^{2}\,}x\\ \\ \cos^{2}x=1-(0,8)^{2}\\ \\ \cos^{2}x=1-0,64\\ \\ \cos^{2}x=0,36\\ \\ \cos x=\pm \sqrt{0,36}\\ \\ \cos x=\pm 0,6$


Como $x$ é um arco do primeiro quadrante, então o seu cosseno é positivo. Logo,

$\cos x=0,6$


Encontrando o valor da tangente de $x:$

$\mathrm{tg\,}x=\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\\ \\ \mathrm{tg\,}x=\dfrac{0,8}{0,6}\\ \\ \mathrm{tg\,}x=\dfrac{8}{6}\\ \\ \mathrm{tg\,}x=\dfrac{4}{3}$


Pela fórmula da tangente do arco duplo, temos

$\mathrm{tg\,}2x=\dfrac{2\mathrm{\,tg\,}x}{1-\mathrm{tg^{2}\,}x}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}2x=\dfrac{2\cdot (\frac{4}{3})}{1-(\frac{4}{3})^{2}}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}2x=\dfrac{\frac{8}{3}}{1-\frac{16}{9}}$


Multiplicando o numerador e o denominador por $9,$

$\mathrm{tg\,}2x=\dfrac{9\cdot\frac{8}{3}}{9\cdot(1-\frac{16}{9})}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}2x=\dfrac{24}{9-16}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}2x=-\dfrac{24}{7}$