Question

se seno X= me cosX=n, determine sen 2x, cos 2x e tan 2x em função m e n

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Resolita, que a resolução é simples.
Antes veja que:

sen(2a) = sen(a+a) = sen(a).cos(a) + sen(a).cos(a) = 2sen(a).cos(a).
cos(2a) = cos(a+a) = cos(a).cos(a) - sen(a).sen(a) = cos²(a) - sen²(a).
e
tan(2a) = sen(2a)/cos(2a) = 2sen(a).cos(a) / (cos²(a)-sen²(a)).

Bem, tendo, portanto o que se disse acima como parâmetro,então vamos responder ao que propõe a sua questão.

i) Tem-se: se sen(x) = m e cos(x) = n, então determine sen(2x), cos(2x) e tan(2x), tudo isso em função de "m" e "n".

i.a) Vamos para o sen(2x). Como já vimos que quanto é sen(2x), então teremos que:

sen(2x) = 2sen(x).cos(x).

Mas como sen(x) = m e cos(x) = n, então vamos fazer as devidas substituições, ficando:

sen(2x) = 2m.n --- ou apenas:
sen(2x) = 2mn       . (I)

i.b) Vamos para cos(2x). Como já vimos antes quanto é cos(2x), então teremos que:

cos(2x) = cos²(x) - sen²(x)

Mas como sen(x) = m e cos(x) = n, então ficaremos assim:

cos(2x) = n² - m²       . (II)

i.c) Finalmente, vamos para o valor de tan(2x). Como já vimos antes quanto é tan(2x), então teremos que:

tan(2x) = sen(2x)/cos(2x) ---- e como já temos os valores de sen(2x) e de cos(2x) em função de "m" e de "n", então é só fazer as devidas substituições, conforme vimos nas expressões (I) e (II). Assim:

tan(2x) = 2mn / (n²-m²) .

ii) Assim, resumindo, teremos que sen(2x), cos(2x) e tan(2x) tudo em função de "m" e de "n" serão:

sen(2x) = 2mn
cos(2x) = n² - m²
tan(2x) = 2mn / (n²-m²)

Pronto. A resposta é a que demos aí em cima.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.