Question

Se Sen²x+Senx=1 , então Cos2x é igual à ?

Answer 1

Utilizaremos a seguinte identidade trigonométrica:

$\cos 2x=1-2\,\mathrm{sen^{2}\,}x\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


Resolver a equação trigonométrica:

$\mathrm{sen^{2}\,}x+\mathrm{sen\,}x=1\\ \\ \mathrm{sen^{2}\,}x+\mathrm{sen\,}x-1=0$


Fazendo uma mudança de variável:

$y=\mathrm{sen\,}x\;\;\;(-1\leq y \leq 1)$


a relação $\mathbf{(i)}$ se torna em

$\cos 2x=1-2y^{2}$


e substituindo na equação trigonométrica, agora temos que resolver

$y^{2}+y-1=0\;\;\;\Rightarrow\left\{\begin{array}{c} a=1\\b=1\\c=-1 \end{array}\right.\\ \\ \\ \Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=1^{2}-4\cdot 1\cdot (-1)\\ \\ \Delta=1+4\\ \\ \Delta=5\\ \\ \\ y=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ \\y=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\\ \\ \\ y_{1}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\;\;(\text{n\~{a}o serve, pois }-1\leq y\leq 1)\\ \\ \\ y_{2}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$


Logo, a única solução válida é

$y=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$


Encontrando $y^{2}:$

$y^{2}=\left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right )^{2}\\ \\ \\ y^{2}=\dfrac{1-2\sqrt{5}+5}{4}\\ \\ \\ y^{2}=\dfrac{6-2\sqrt{5}}{4}\\ \\ \\ y^{2}=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot (3-\sqrt{5})}{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 2}\\ \\ \\ y^{2}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$


Substituindo na identidade trigonométrica, chegamos a

$\cos 2x=1-2y^{2}\\ \\ \cos 2x=1-\diagup\!\!\!\! 2\cdot \left(\dfrac{3-\sqrt{5}}{\diagup\!\!\!\! 2} \right )\\ \\ \\ \cos 2x=1-(3-\sqrt{5})\\ \\ \cos 2x=1-3+\sqrt{5}\\ \\ \cos 2x=-2+\sqrt{5}\\ \\ \boxed{\begin{array}{c} \cos 2x=\sqrt{5}-2 \end{array}}$