Question

Se Sen x + Cos x = 1/raiz quadrada de 3, qual o valor de Sen (2x) ?

Answer 1

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Enunciado:

Se sen x + cos x = 1/√3, qual o valor de sen(2x)?

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Solução:

$\large\begin{array}{l}\texttt{Tomemos a express\~ao fornecida:}\\\\ \mathtt{sen\,x+cos\,x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\qquad\quad(i)}\\\\\\ \texttt{Eleve os dois lados ao quadrado:}\\\\ \mathtt{\left(sen\,x+cos\,x\right)^2=\Big(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)^2} \end{array}$


$\large\begin{array}{l}\texttt{Expanda o quadrado da soma usando produtos not\'aveis:}\\\\ \mathtt{sen^2\,x+2\cdot sen\,x\cdot cos\,x+ cos^2\,x=\dfrac{1}{3}}\\\\\\ \texttt{Rearrumando os termos, a igualdade fica}\\\\ \mathtt{2\cdot sen\,x\cdot cos\,x+(sen^2\,x+cos^2\,x)=\dfrac{1}{3}} \end{array}$


$\large\begin{array}{l}\texttt{Usaremos agora duas identidades trigonom\'etricas:}\\\\ \hspace{-5}\footnotesize\begin{array}{l}\bullet \end{array} \mathtt{2\cdot sen\,x\cdot cos\,x=sen(2x)}\\\\ \hspace{-5}\footnotesize\begin{array}{l}\bullet \end{array} \mathtt{sen^2\,x+cos^2\,x=1}\\\\\\ \texttt{Substituindo, a igualdade fica}\\\\ \mathtt{sen(2x)+1=\dfrac{1}{3}} \end{array}$


$\large\begin{array}{l}\texttt{Portanto,}\\\\ \mathtt{sen(2x)=\dfrac{1}{3}-1}\\\\ \mathtt{sen(2x)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{3}}\\\\ \mathtt{sen(2x)=\dfrac{1-3}{3}} \end{array}$


$\large\begin{array}{l}\therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\mathtt{sen(2x)=-\,\dfrac{2}{3}}\end{array}} \quad\longleftarrow\quad\texttt{esta \'e a resposta.}\end{array}$          ✔


$\large\texttt{Bons estudos! :-)}$


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