Question

Se sen(x) = 4/5 e 0 < x < pi/2, o valor da tg (2x) e:

Em anexo segue a questão, desde de já agradeço a quem poder me ajudar!

Answer 1

Vamos lá.

Veja, João, que a resolução é simples.
Tem-se:

sen(x) = 4/5 e o arco "x" está no intervalo: 0 < x < π/2 (o que significa o 1º quadrante, local em que tanto o seno como o cosseno são positivos).

i) Vamos encontrar o valor do cos(x) pela primeira relação fundamental da trigonometria, segundo a qual tem-se:

sen²(x) + cos²(x) = 1 ---- substituindo-se sen(x) por "4/5", teremos:

(4/5)² + cos²(x) = 1
16/25 + cos²(x) = 1
cos²(x) = 1 - 16/25 ---- mmc, no 2º membro = 25. Assim:
cos²(x) = (25*1-1*16)/25
cos²(x) = (25-16)/25
cos²(x) = 9/25
cos(x) = +-√(9/25) ---- note que √(9/25) = 3/5. Assim:
cos(x) = +- 3/5 ---- mas como já vimos que se trata de arco do 1º quadrante, então o cosseno será positivo e, como tal:

cos(x) = 3/5 .

ii) Como já temos que sen(x) = 4/5 e cos(x) = 3/5, então vamos encontrar quanto é tan(x). Assim:

tan(x) = sen(x)/cos(x) ----- fazendo-se as devidas substituições, teremos;
tan(x) = (4/5)/(3/5) --- veja: divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Logo:

tan(x) = (4/5)*(5/3)
tan(x)= 4*5/5*3
tan(x) = 20/15 ---- dividindo-se numerador e denominador por "5", ficaremos:
tan(x) = 4/3 <--- Este é o valor de tan(x).

iii) Agora que já temos o valor de tan(x) , vamos encontrar o valor de tan(2x), cuja fórmula é esta:

tan(2x) = 2tan(x)/[1-tan²(x)] ----- assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

tan(2x) =(2*4/3)/[1-(4/3)²]
tan(2x) = (8/3)/[1-16/9] ---- mmc, no denominador = 9. Assim:
tan(2x) = (8/3)/[(9*1-1*16)/9]
tan(2x) = (8/3)/[(9-16)/9]
tan(2x) = (8/3)/(-7/9) ---- veja: divisão de frações. Logo, usando a regra:

tan(2x) = (8/3)*(9/-7)
tan(2x) = 8*(9)/3*(-7)
tan(2x) = 72/-21 ---- ou, o que é a mesma coisa:
tan(2x) = -72/21 ---- dividindo-se numerador e denominador por "3", ficaremos:
 
tan(2x) = -24/7 <--- Esta é a resposta. É a última opção.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.