Question

Se sen x = 3/5, sen y = 4/5, Pi/2< x < Pi e Pi/2< y< Pi, o valor de cos(x-y) é:

Preciso pra hoje, se alguém puder me ajudar eu agradeço​

Answer 1

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\blue{cos(x - y)}~\pink{=}~\blue{ 0,96 }~~~}}$

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$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá, Nattaly, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗ Acompanhe a resolução abaixo, feita através de algumas manipulações algébricas. ✌

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\large\gray{\boxed{\rm\blue{ cos (x - y) }}}$

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☔ Para evitarmos confusões do ângulo x com o eixo x e do ângulo y com o eixo y chamemos nosso x de α e nosso y de β.

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☔ Temos inicialmente que o sen(α) = 0,6 e sen(β) = 0,8, ou seja, sen(α) < sen(β). Analisando isso graficamente temos que, no eixo y, o ângulo α está mais "baixo" que o ângulo β. Agora vem a parte interessante: se ambos fossem ângulos agudos, ou seja, se ambos estivessem no PRIMEIRO quadrante, então teríamos que α < β.

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$\setlength{\unitlength}{0.8cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\line(1,0){8}}\put(4,-1.2){\line(0,1){5.2}}\put(8.2,0){x}\put(3.9,4.4){y}\put(8.1,0.45){\line(-4,-22){0.45}}\put(4.43,4.25){\line(-4,-31){0.45}}\put(-0.2,0){\line(7,28){0.45}}\put(4.44,-1){\line(-4,-40){0.45}}\qbezier(4,3)(6.9,2.8)(7,0)\put(6.18,2.2){\line(-22,-1){2.15}}\put(6.75,1.38){\line(-2,-1){2.8}}\qbezier(5.2,0.6)(5.6,0.4)(5.6,0)\qbezier(5.2,1.2)(5.8,0.8)(5.6,0)\put(4.89,0.6){ \beta }\put(5,0.1){ \alpha }\end{picture}$

$\sf (Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly$ ☹ )

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☔ No entanto, como ambos estão no SEGUNDO quadrante, então temos que α > β pois para que o ângulo α chegue "tão baixo" do outro lado ele tem uma abertura maior do que a de β.

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$\setlength{\unitlength}{0.8cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\line(1,0){8}}\put(4,-1.2){\line(0,1){5.2}}\put(8.2,0){x}\put(3.9,4.4){y}\put(8.1,0.45){\line(-4,-22){0.45}}\put(4.43,4.25){\line(-4,-31){0.45}}\put(-0.2,0){\line(7,28){0.45}}\put(4.44,-1){\line(-4,-40){0.45}}\qbezier(4,3)(6.9,2.8)(7,0)\qbezier(1,0)(1,2.8)(4,3)\put(4,0){\line(-22,1){2.16}}\put(4,-0.02){\line(-2,1){2.75}}\qbezier(4,0.6)(4.6,0.6)(4.6,0)\qbezier(4,1.2)(5.3,1.1)(5.2,0)\qbezier(4,1.2)(3.5,1.2)(3.2,0.8)\qbezier(3.4,0.3)(3.7,0.6)(4,0.58)\put(4.5,0.6){ \beta }\put(4.1,0.1) { \alpha }\end{picture}$

$\sf (Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly$ ☹ )

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☔ Vamos agora encontrar os valores de cos(α) e cos(β) - você entenderá o porquê em seguida - lembrando que estando α e β no segundo quadrante então seus valores serão negativos. Relembrando de uma propriedade trigonométrica fundamental temos que

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\rm\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{ sen^2(x) + cos^2(x) = 1 }&\\&&\\\end{array}}}}}$

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ou seja

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➡ $\sf\blue{ cos(\alpha) = -\sqrt{1 - sen^2(\alpha)} }$

$\sf\blue{ = -\sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} }$

$\sf\blue{ = -\sqrt{\dfrac{25}{25} - \dfrac{9}{25}} }$

$\sf\blue{ = -\sqrt{\dfrac{16}{25}} }$

$\sf\blue{ = -\dfrac{4}{5} }$

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☔ Poderíamos ter encontrado o cosseno também a partir do Teorema de Pitágoras. Vamos fazê-lo então para encontrar o cosseno de y

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➡ Cateto oposto à β =  $n \cdot 4$

➡ Hipotenusa = $n \cdot 5$

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(Por que temos um fator n? Pois não sabemos se a fração 4/5 indica de fato que o cateto oposto à β é igual a 4 e a hipotenusa igual a 5 ou se essa é na verdade uma fração simplificada da razão entre estes lados)

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➡ $\sf\blue{ cateto~adjacente~=~ \sqrt{(5n)^2 - (4n)^2} }$

$\sf\blue{ = \sqrt{25n^2 - 16n^2} }$

$\sf\blue{ = \sqrt{9n^2} }$

$\sf\blue{ = 3n }$

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➡ $\sf\blue{ cos(\beta) = -\dfrac{3n}{5n} = -\dfrac{3}{5} }$

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☔ Vamos agora utilizar cos(α) e cos(β). Temos na trigonometria que pela Regra do Cosseno da Diferença

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\rm\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{ cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha) \cdot cos(\beta) + sen(\alpha) \cdot sen(\beta) }&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\sf\blue{ = \dfrac{-4}{5} \cdot \dfrac{-3}{5} + \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5}}$

$\sf\blue{ = 2 \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{5} }$

$\sf\blue{ = 2 \cdot \dfrac{12}{25} }$

$\sf\blue{ = \dfrac{24}{25} }$

$\sf\blue{ = 0,96 }$

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\blue{cos(x - y)}~\pink{=}~\blue{ 0,96 }~~~}}$ ✅

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☕ Bons estudos.

(Dúvidas nos comentários) ☄

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❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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"Absque sudore et labore nullum opus perfectum est."