Question

Se Sen(x)= 3/4 qual a Tg(2x)=?

(ARCO DUPLO)

Answer 1

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Enunciado:

Se  sen(x) = 3/4,  qual é o valor de  tg(2x)?

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Solução:

Bem, o seno de  x  é positivo.  Logo, há valores de  x  no  1º  e no  2º  quadrantes, tais que  sen(x) = 3/4.


Usaremos a fórmula da tangente do arco duplo:

     •   $\mathsf{tg(2x)=\dfrac{2\,tg(x)}{1-tg^2(x)}}$


•  Calculando  tg(x):

Pela definição de tangente, temos que

     $\mathsf{tg(x)=\dfrac{sen(x)}{cos(x)}}$


Eleve ambos os lados ao quadrado:

     $\mathsf{tg^2(x)=\left[\dfrac{sen(x)}{cos(x)}\right]^2}\\\\\\ \mathsf{tg^2(x)=\dfrac{sen^2(x)}{cos^2(x)}}$


Mas  cos²(x) = 1 − sen²(x).  Então, ficamos com

     $\mathsf{tg^2(x)=\dfrac{sen^2(x)}{1-sen^2(x)}}$


Substitua o valor fornecido para  sen(x) = 3/4:

     $\mathsf{tg^2(x)=\dfrac{\left(\frac{3}{4}\right)^{\!2}}{1-\left(\frac{3}{4}\right)^{\!2}}}\\\\\\ \mathsf{tg^2(x)=\dfrac{\frac{9}{16}}{1-\frac{9}{16}}}$


Multiplique o numerador e o denominador por  16  para simplificar:

     $\mathsf{tg^2(x)=\dfrac{\frac{9}{16}\cdot 16}{\left(1-\frac{9}{16}\right)\cdot 16}}\\\\\\ \mathsf{tg^2(x)=\dfrac{9}{16-9}}\\\\\\ \mathsf{tg^2(x)=\dfrac{9}{7}\qquad\quad(i)}$


Tomando as raízes quadradas, encontramos

     $\mathsf{tg(x)=\pm\,\sqrt{\dfrac{9}{7}}}\\\\\\ \mathsf{tg(x)=\pm\,\dfrac{3}{\sqrt{7}}\qquad\quad(ii)}$


O sinal da  tg(x)  depende de qual quadrante é o arco  x.

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•   Se  x  é do  1º quadrante,

então a tangente de  x  é positiva:

     $\mathsf{tg(x)=\dfrac{3}{\sqrt{7}}}$


e teremos

     $\mathsf{tg(2x)=\dfrac{2\,tg(x)}{1-tg^2(x)}}\\\\\\ \mathsf{tg(2x)=\dfrac{2\cdot \frac{3}{\sqrt{7}}}{1-\frac{9}{7}}}\\\\\\ \mathsf{tg(2x)=\dfrac{\frac{6}{\sqrt{7}}}{\frac{7}{7}-\frac{9}{7}}}\\\\\\ \mathsf{tg(2x)=\dfrac{\frac{6}{\sqrt{7}}}{~-\frac{2}{7}~}}\\\\\\ \mathsf{tg(2x)=\dfrac{6}{\sqrt{7}}\cdot \left(-\,\dfrac{7}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{tg(2x)=-\,\dfrac{42}{2\sqrt{7}}}$


Podemos racionalizar o denominador, muliplicando o numerador e o denominador por  √7:

     $\mathsf{tg(2x)=-\,\dfrac{42\cdot \sqrt{7}}{2\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}}}\\\\\\ \mathsf{tg(2x)=-\,\dfrac{42\sqrt{7}}{2\cdot 7}}\\\\\\ \mathsf{tg(2x)=-\,\dfrac{42\sqrt{7}}{14}}$

     $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{tg(2x)=-\,3\sqrt{7}}\end{array}}$   <———  resposta, se  x  ∈  1º  quadrante.


•   Se  x  é do  2º  quadrante,

então a tangente de  x  é negativa:

     $\mathsf{tg(x)=-\,\dfrac{3}{\sqrt{7}}}$


Procedendo de forma análoga, concluiremos que

     $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{tg(2x)=3\sqrt{7}}\end{array}}$   <———  resposta, se  x  ∈  2º  quadrante.


Bons estudos! :-)