Question

Se sen x = 1/3 e y = sec2 x – tg x.sec x calcule o valor de y.

Answer 1

Temos que:

$\sf \begin{cases} \sf senx = \frac{1}{3} \\ \\ \sf y = sec {}^{2} x - tanx \: . \: secx\end{cases}$

Para encontrar o valor de "y" devemos e encontrar primeiro o cosseno de "x", pois será necessário para encontrar "y", o proceder do cálculo do cosseno(x) será dado através da relação fundamental da trigonometria.

• Lembre-se de elevar o valor do seno, já que na relação o seno está ao quadrado.

$\sf sen {}^{2} x + cos {}^{2} x = 1 \\ \\ \sf ( \frac{1}{3} ) {}^{2} + cos {}^{2} x = 1 \\ \\ \sf \frac{1}{9} + cos {}^{2} = 1 \\ \\ \sf cos {}^{2} x = 1 - \frac{1}{9} \\ \\ \sf cos {}^{2} x = \frac{9 - 1}{9} \\ \\ \sf cos {}^{2} x = \frac{8}{9} \\ \\ \sf cosx = \pm \sqrt{ \frac{8}{9} } \\ \\ \sf cosx = \pm \frac{2 \sqrt{2} }{3}$

Como a questão não informa nenhum intervalo, então no final teremos duas possíveis respostas, uma positiva e outra negativa.

Tendo calculado o cosseno, vamos expandir algumas relações trigonométricas:

• Secante (sec) é inverso do seno:

$\boxed{ \sf secx = \frac{1}{cosx} }$

• Tangente (tan) é igual o seno(x) sobre o cosseno(x).

$\boxed{ \sf tanx = \frac{senx}{cos x } }$

Substituindo essas novas expressões:

$\sf y = sec {}^{2} x - tanx.secx \\ \\ \sf y = \frac{1}{cos {}^{2}x } - \frac{senx}{cosx} . \frac{1}{cosx}$

Substituindo os valores numéricos:

• Primeiro para o cosseno positivo:

$\sf y = \frac{1}{( \frac{2 \sqrt{2} }{3}) {}^{2} } - \frac{ \frac{1}{3} }{ \frac{2 \sqrt{2} }{3} } . \frac{1}{ \frac{2 \sqrt{2} }{3} } \\ \\ \sf y = \frac{1}{ \frac{2 {}^{2} ( \sqrt{2} ) {}^{2} }{3 {}^{2} } } - \frac{1}{3} . \frac{3}{2 \sqrt{2} } . \frac{1}{1} . \frac{3}{ 2\sqrt{2} } \\ \\ \sf y = \frac{1}{ \frac{4.2}{9} } - \frac{1}{3} . \frac{9}{4. \sqrt{4} } \\ \\ \sf y = \frac{1}{ \frac{8}{9} } - \frac{9}{12.2} \\ \\ \sf y = \frac{1}{1} . \frac{9}{8} - \frac{9}{24} \\ \\ \sf y = \frac{(3).9}{(3).8} - \frac{9}{24} \\ \\ \sf y = \frac{27}{24} - \frac{9}{24} \\ \\ \sf y = \frac{18}{24} = \boxed{ \sf\frac{3}{4} } \leftarrow resposta$

• Para o cosseno negativo:

$\sf y = \frac{1}{cos {}^{2}x } - \frac{senx}{cosx} . \frac{1}{cosx}$

Substituindo:

$\sf y = \frac{1}{( - \frac{2 \sqrt{2} }{3}) {}^{2} } - \frac{ \frac{1}{3} }{ - \frac{2 \sqrt{2} }{3} } . \frac{1}{ - \frac{ 2\sqrt{2} }{3} } \\ \\ \sf y = \frac{1}{ \frac{4.2}{9} } - \frac{1}{3} . (- \frac{3}{2 \sqrt{2} } ). \frac{1}{1} .( - \frac{3}{2 \sqrt{2} } ) \\ \\ \sf y = \frac{1}{ \frac{8}{9} } - \frac{1}{3} . \frac{9}{4. \sqrt{4} } \\ \\ \sf y = \frac{1}{1} . \frac{9}{8} - \frac{9}{12.2} \\ \\ \sf y = \frac{(3)9}{(3)8} - \frac{9}{24} \\ \\ \sf y = \frac{27}{24} - \frac{9}{24} \\ \\ \sf y = \frac{18}{24} = \boxed{ \sf \frac{3}{4} }$

Com isso, "y" possui apenas o valor de "3/4".

Espero ter ajudado