Question

Se sen x = 1/2 e x um arco do 1° quadrante, então cos (2x) é igual a:

Answer 1

Olá, bom dia.

Se $\sin(x)=\dfrac{1}{2}$ e $x\in\left[0,~\dfrac{\pi}{2}\right]$, devemos determinar o valor de $\cos(2x)$.

Para isso, lembre-se da identidade trigonométrica fundamental: $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ e da fórmula para arco duplos: $\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$.

Colocamos estas identidades em um sistema de equações:

$\begin{cases}\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\\\cos^2(x)-\sin^2(x)=\cos(2x)\\\end{cases}$

Subtraia a segunda igualdade da primeira, de modo que tenhamos:

$\sin^2(x)+\cos^2(x)-(\cos^2(x)-\sin^2(x))=1-\cos(2x)\\\\\\ \sin^2(x)+\cos^2(x)-\cos^2(x)+\sin^2(x)=1-\cos(2x)\\\\\\ 2\sin^2(x)=1-\cos(2x)$

Subtraia $1$ em ambos os lados da igualdade

$2\sin^2(x)-1=-\cos(2x)$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $(-1)$

$\cos(2x)=1-2\sin^2(x)~~\checkmark$

Então, substituindo $\sin(x)=\dfrac{1}{2}$, temos:

$\cos(2x)=1-2\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$

Calcule a potência, multiplique e some os valores

$\cos(2x)=1-2\cdot\dfrac{1}{4}\\\\\\ \cos(2x)=1-\dfrac{1}{2}\\\\\\ \cos(2x)=\dfrac{1}{2}~~\checkmark$

Este é o valor que buscávamos.