Question

Se sen(a):2/3 e cos(b):3/4, com a pertencente ao 2º quadrante e b pertencente ao 1º quadrante, calcule cos (a+b)

Answer 1

Para responder esta tarefa, precisamos usar a identidade do cosseno da soma:

    $\mathsf{cos(a+b)=cos\,a\,cos\,b-sen\,a\,sen\,b\qquad (i)}$

Precisamos encontrar os dados que faltam.

Calculando cos a:

    $\mathsf{sen\,a=\dfrac{2}{3}}\\\\\\ \mathsf{3\,sen\,a=2}$

Eleve os dois lados ao quadrado:

    $\mathsf{(3\,sen\,a)^2=2^2}\\\\ \mathsf{9\,sen^2\,a=4}$

Mas sen² a = 1 − cos² a. Substituindo acima, ficamos com

    $\mathsf{9\cdot (1-cos^2\,a)=4}\\\\ \mathsf{9-9\,cos^2\,a=4}\\\\ \mathsf{-9\,cos^2\,a=4-9}\\\\ \mathsf{-9\,cos^2\,a=-5}\\\\\\ \mathsf{cos^2\,a=\dfrac{-5}{-9}}\\\\\\ \mathsf{cos^2\,a=\dfrac{5}{9}}\\\\\\ \mathsf{cos\,a=\pm\sqrt{\dfrac{5}{9}}}\\\\\\ \mathsf{cos\,a=\pm\,\dfrac{\sqrt{5}}{3}}$

Como a é do 2º quadrante, o cosseno é negativo. Portanto,

    $\mathsf{cos\,a=-\,\dfrac{\sqrt{5}}{3}\qquad\checkmark}$

De forma semelhante, calculamos sen b:

    $\mathsf{cos\,b=\dfrac{3}{4}}\\\\\\ \mathsf{4\,cos\,b=3}\\\\ \mathsf{(4\,cos\,b)^2=3^2}\\\\ \mathsf{16\,cos^2\,b=9}\\\\ \mathsf{16\cdot (1-sen^2\,b)=9}\\\\ \mathsf{16-16\,sen^2\,b=9}\\\\ \mathsf{-16\,sen^2\,b=9-16}\\\\ \mathsf{-16\,sen^2\,b=-7}$

    $\mathsf{sen^2\,b=\dfrac{-7}{-16}}\\\\\\ \mathsf{sen^2\,b=\dfrac{7}{16}}\\\\\\ \mathsf{sen\,b=\pm\sqrt{\dfrac{7}{16}}}\\\\\\ \mathsf{sen\,b=\pm\,\dfrac{\sqrt{7}}{4}}$

Como b é do 1º quadrante, o seno é positivo. Portanto,

    $\mathsf{sen\,b=\dfrac{\sqrt{7}}{4}\qquad\checkmark}$

Finalmente, podemos calcular cos(a + b):

    $\mathsf{cos(a+b)=cos\,a\,cos\,b-sen\,a\,sen\,b}\\\\ \mathsf{cos(a+b)=\Big(\!\!-\dfrac{\sqrt{5}}{3}\Big)\cdot \dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{\sqrt{7}}{4}}\\\\\\ \mathsf{cos(a+b)=-\,\dfrac{3\sqrt{5}}{12}-\dfrac{2\sqrt{7}}{12}}\\\\\\ \mathsf{cos(a+b)=-\,\dfrac{1}{12}\,(3\sqrt{5}+2\sqrt{7})\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)