Question

Se sen 2x:2/3,o valor de tg x + cotg x e​

Answer 1

Vamos relembrar algumas coisas da trigonometria.

1) Tangente

$\fbox{\displaystyle Tg(x) = \frac{Sen(x) }{Cos(x)} }$

2) Cotangente

$\fbox{\displaystyle Cotg(x) = \frac{1}{Tg(x) } \to Cotg(x) = \frac{Cos(x)}{Sen(x)} }$

3) Arco dobro do seno

$\fbox{\displaystyle Sen(2x) = 2.Sen(x).Cos(x) }$

Podemos isolar o produto, ficando assim :

$\fbox{\displaystyle Sen(x).Cos(x) = \frac{Sen(2x)}{2} }$

4) Relação fundamental da trigonometria :

$\fbox{\displaystyle Sen^2(x) + Cos^2(x) = 1 }$

Sabendo disso, vamos para nossa questão.

A questão nos informa :

$\fbox{\displaystyle Sen(2x) = \frac{2}{3 } }$

e nos pede :

$\fbox{\displaystyle Tg(x) + Cotg(x) }$

Usando as propriedades acima podemos melhorar essa expressão. Ficando da seguinte forma :

$\fbox{\displaystyle Tg(x) + Cotg(x) \to \frac{Sen(x) }{Cos(x)} + \frac{Cos(x)}{Sen(x) } }$

Vamos tirar o MMC, ficando assim :

$\fbox{\displaystyle \frac{Sen(x) }{Cos(x)} + \frac{Cos(x)}{Sen(x) } \to \frac{Sen(x).Sen(x) + Cos(x).Cos(x) }{Sen(x).Cos(x) } }$

$\fbox{\displaystyle \frac{Sen(x).Sen(x) + Cos(x).Cos(x) }{Sen(x).Cos(x) } \to \frac{Sen^2(x) + Cos^2(x) }{Sen(x).Cos(x) } }$

Perceba que no numerador apareceu a Relação fundamental da trigonometria, e no numerador apareceu O arco dobro ( escrito da forma igual na propriedade 3 )

Então vamos substituir :

$\fbox{\displaystyle \frac{Sen^2(x) + Cos^2(x) }{Sen(x).Cos(x) } \to \frac{1}{\frac{Sen(2x) }{2}} \to \frac{2}{Sen(2x) } }$

Substituindo

$\fbox{\displaystyle Sen(2x) = \frac{2}{3 } }$

ficando assim :

$\fbox{\displaystyle \frac{2}{Sen(2x) } \to \frac{2}{\frac{2}{3}} \to 2.\frac{3}{2} \to 3 }$

Então concluímos que :

$\fbox{\displaystyle Tg(x) + Cotg(x) = 3 }$