Question

Se sec x + tg x = $\frac{12}{5}$ sendo x um arco de primeiro quadrante, então sen x é igual a:

a) 119/169
b) 120/169
c) 5/12
d) 13/12

Answer 1

Questão complicadíssima, muito mesmo:

⇒ secx = 1/cosx
⇒ tgx = senx/cosx

∴Portanto:

secx + tgx = 12/5

$\frac{1}{cosx}+ \frac{senx}{cosx} = \frac{12}{5} \\ \\ \frac{senx+1}{cosx} = \frac{12}{5} \\ \\ cosx = (senx+1) . \frac{5}{12} \\ \\ cosx = \frac{5senx + 5}{12}$

∴ Usando da equação fundamental da trigonometria temos:
⇒ cosx² + senx² = 1

$cos^{2}x + sen^{2}x = 1 \\ \\ ( \frac{(5senx+5)}{12} )^{2} + sen^{2}x = 1 \\ \\ \frac{25sen^{2}x +5.25senx+25}{144}+sen^{2}x =1 \\ \\ \frac{25sen^{2}x + 50senx+25}{144}+ sen^{2}x = 1 \\ \\ MMC \\ \\ \frac{25sen^{2}x + 50senx + 25 + 144sen^2x}{144} =1 \\ \\ 25sen^{2} + 50senx +25 + 144sen^{2}x = 144 \\ \\ 169sen^{2}x + 50senx -119 = 0$

Chegamos a uma equação do 2° grau:

⇒169sen²x + 50senx - 119 = 0

Δ = b² - 4a.c
Δ=2500 - 4.169.(-119)
Δ=2500 + 4.169.199
Δ= 82944

√Δ = 288

∴Por Bhaskara temos:


⇒ -[b(+ou-)√Δ]/2.a
⇒ [-50 (+ou-) 288]/ 2.169

∴Como sen x está 1 quadrante temos que senx > 0

$senx = \frac{-50 + 288}{2.169} \\ \\ senx = \frac{238}{2.169} \\ \\ senx = \frac{119}{169}$

Entenda que senx tem que ser positivo,caso contrário não estaria no 1° quadrante 

$Bons~Estudos~:)$