Question

Se sec x - tg x = 2, então quanto vale sec x + tg x ?

a) 3/4

b) -3/4

c) -1/2

d) 1/2

e) 0

Answer 1

Resposta:

sec x - tg x = 2

1/cos(x)-sen(x)/cos(x)=2

1-sen(x)=2cos(x)

sen(x)=1-2*cos(x)

Usando sen²(x)+cos²(x)=1

(1-2*cos(x))²+cos²(x)=1

1-4*cos(x)+4*cos²(x) +cos²(x)=1

5*cos²(x)-4*cos(x)=0

cos(x)*[5*cos(x)-4]=0

cos(x)=0 ==> tan não existe

ou

5*cos(x)-4=0

cos(x)=4/5

Sabemos que sen(x)=1-2*cos(x)=1-8/5=-3/5

sec(x)=1/cos(x)= 5/4

tan(x)=(-3/5)/(4/5)=-3/4

sec x + tg x = 5/4-3/4 =2/4=1/2

Letra D

Answer 2

Resposta: alternativa d) 1/2.

Explicação passo a passo:

Partimos da identidade trigonométrica abaixo:

$\sec^2 x=1+\mathrm{tg^2\,}x$

Podemos reescrever a identidade acima como

$\Longleftrightarrow\quad\sec^2 x-\mathrm{tg^2\,}x=1\qquad\mathrm{(i)}$

Do lado esquerdo temos uma diferença entre quadrados. Fatoramos utilizando produtos notáveis:

$a^2-b^2=(a-b)\cdot (a+b)$

Para $a=\sec x$ e $b=\mathrm{tg\,}x,$ a identidade (i) fica

$\Longleftrightarrow\quad(\sec x-\mathrm{tg\,}x)\cdot (\sec x+\mathrm{tg\,}x)=1\qquad\mathrm{(ii)}$

Substituindo acima $\sec x-\mathrm{tg\,}x=2,$ obtemos

$\Longrightarrow\quad 2\cdot (\sec x+\mathrm{tg\,}x)=1\\\\ \Longleftrightarrow\quad \sec x+\mathrm{tg\,}x=\dfrac{1}{2} \quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta:~alternativa~d).}$

Bons estudos! :-)