Question

Se sec x = √2, e está no primeiro quadrante, calcular cosx, tgx e cotgx.

Tentei fazer da seguinte forma:
Cossec(x) = 1/cos(x), tentei igualar: √2 = 1/cos(x), mas nao da certo a conta.

Answer 1

Vamos relembrar umas propriedades trigonométricas :

Relação fundamental da trigonometria :

$Sen^2(x) +Cos^2(x) = 1$

Tangente :

$\displaystyle Tg(x) = \frac{Sen(x)}{cos(x) }$

Cotangente :

$\displaystyle Cotg(x) = \frac{1}{Tg(x) } = \frac{Cos(x)}{Sen(x) }$

Secante :

$\displaystyle Sec(x) = \frac{1}{Cos(x)}$

A questão nos pede cos(x), tg(x) e cotg(x) e nos informa que :

$sec(x) = \sqrt{2}$

Então, vamos reescrever assim :

$\displaystyle \frac{1}{Cos(x) } = \sqrt{2}$

multiplica cruzado :

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} = Cos(x) \to \fbox{\displaystyle Cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} }$

( Só racionalizei multiplicando em cima e em baixo por raiz de 2)

Se o cosseno deu raiz de 2 sobre 2, já sabemos que o ângulo é de 45º.

Então A tangente e a cotangente ficam fáceis :

$\fbox{\displaystyle Tg(x) = Tg(45^{\circ}) = 1 }$

$\fbox{\displaystyle Cotg(x) = 1 }$

Essa resposta á válida, mas como lidamos com números, vamos provar.

Para achar a tangente, vamos achar 1º achar o seno usando :

$Sen^2(x) +Cos^2(x) = 1$

substituindo o valor do cos(x) :

$\displaystyle Sen^2(x) +(\frac{\sqrt{2}}{2})^2= 1$

$\displaystyle Sen^2(x) +\frac{2}{4}= 1 \to Sen^2(x) = 1 - \frac{2}{4}$

$\displaystyle Sen^2(x) = \frac{4-2}{4} \to Sen(x) = \sqrt{\frac{2}{4} } \to \fbox{\displaystyle Sen(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} }$

Agora vamos achar a tangente :

$\displaystyle Tg(x) = \frac{Sen(x)}{Cos(x)} \to Tg(x) = \frac{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}} \to \fbox{\displaystyle Tg(x) = 1 }$

Consequentemente a Cotg(x) será o mesmo valor.