Question

Se α, β, γ são raízes da equação 2x³ – 2x² + 3x – 4 = 0,então o valor de 1/α + 1/β + 1/γ é: *

a) 1/4
b) -1/4
c) 3/4
d) -3/2
e) 3/2

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas em equações polinomiais.

Seja a equação polinomial de grau $n$:

$a_nx^n+a_{n-1}x^n+a_{n-2}x^{n-1}+\cdots+a_0=0$, em que $a_n,~a_{n-1},~a_{n-2},\cdots,~a_0\in\mathbb{R}$.

De acordo com as Relações de Girard, temos que:

• A soma do produto, duas a duas, das raízes da equação, é dada por $S_2=\dfrac{a_{n-2}}{a_n}$.
• O produto das raízes é dado por $P=\dfrac{(-1)^n\cdot a_0}{a_n}$.

Então, seja a equação polinomial de grau $3$:

$2x^3-2x^2+3x-4=0$

Se $\alpha,~\beta$ e $\gamma$ são suas raízes, devemos encontrar o valor de:

$\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}$, denominada como soma dos inversos das raízes.

Considere somar as frações, de modo que tenhamos:

$\dfrac{\beta\gamma+\alpha\gamma+\alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}$

Então, utilizando as duas relações apresentadas acima, teremos:

$\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{(-1)^3\cdot(-4)}{2}}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{(-1)\cdot(-4)}{2}}\\\\\\ \dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{4}{2}}$

Calcule a fração de frações

$\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{2}{4}$

Multiplique as frações

$\dfrac{3}{4}$

Este é o valor da expressão que buscávamos e é a resposta contida na letra c).