Question

Se S é a soma das raízes da equação abaixo, podemos afirmar que o valor de 1004 - 10S, será a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

Answer 1

Essa questão irá mesclar assuntos pertencentes aos conteúdos de Funções Quadráticas e Logaritmos.

• Cálculos :

• 1º Passo : Substituir os logaritmos por incógnitas.

        Chamando $log x = y$ é tido que :

         $log^{2} x - log x - 2 = 0$

         $y^{2} - y - 2 = 0$

• 2º Passo : Utilizar a fórmula de Bháskara para descobrir os valores de y.

        $a = 1$ ⇒ termo que acompanha o x²

        $b = -1$ ⇒ termo que acompanha o x

        $c = -2$ ⇒ termo independente

        Δ$= b^{2} - 4.a.c$

        Δ = $(-1)^{2} - 4.1.(-2)$ ⇒ Δ $= 1 + 8$ → Δ$= 9$

        $y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$  ⇒ $y=\frac{-(-1)\pm\sqrt{9}}{2.1}$ ⇒ $y=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}$

$y'=\frac{1\ + \sqrt{9}}{2}$ → $y'=\frac{1\ + {3}}{2}$ → $y' = 2$

$y''=\frac{1\ - \sqrt{9}}{2}$ → $y''=\frac{1\ - {3}}{2}$ → $y'' = -1$

• 3º Passo : Aplicar a definição de logaritmo.

1. Lembrando que : ''O logaritmo corresponde ao número que a base deve ser elevada para resultar no valor do logaritmando.''

        $log x = 2$                 $logx = -1$

        $log_{10}x = 2$             $log_{10} x = -1$

   $10^{2} = x$ → $x = 100$    $10^{-1} = x$ → $x = 0,1$

• Observação : Quando a base do logaritmo não está visível ela vale 10.

1. Portanto as raízes da equação logarítmica dada são 100 e 0,1. Como S corresponde a Soma dessas raízes é tido que :

        $S = 100 + \left \frac{1}{10} \right$

       $S=\frac{1000\ + {1}}{10}$ → $S = \left \frac{1001}{10} \right$

• 4º Passo : Efetuar a operação pedida pelo exercício.

       $1004 - 10. \left \frac{1001}{10} \right$ → $1004 - 1001$ $= 3$ , Portanto : $1004 - 10S = 3$.

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