Question

Se S = {1,2,3,...,10}, o numero de pares ordenados distintos, (A,B), em que A e B são subconjuntos disjuntos de S é:
a)3 ˆ{10}
b) 3 ˆ{10} - 1
c) 3 ˆ{9}
d) 2 ˆ{10} -1
e) 2 ˆ{10}

Answer 1

O número de pares ordenados distintos, (A,B), em que A e B são subconjuntos disjuntos de S é 3¹⁰.

É válido lembrar que a quantidade de subconjuntos é igual a 2ⁿ.

Se A não conter nenhum elemento, então B terá 2¹⁰;

Se A conter 1 elemento, então B terá 2⁹;

Se A conter 2 elementos, então B terá 2⁸;

...

Se A conter 10 elementos, então B terá 2⁰.

Para escolher os elementos de A, utilizaremos a combinação.

Sendo assim, a quantidade de pares ordenados será:

C(10,0).2¹⁰ + C(10,1).2⁹ + C(10,2).2⁸ + C(10,3).2⁷ + C(10,4).2⁶ + C(10,5).2⁵ + C(10,6).2⁴ + C(10,7).2³ + C(10,8).2² + C(10,9).2¹ + C(10,10).2⁰ =

1.2¹⁰ + 10.2⁹ + 45.2⁸ + 120.2⁷ + 210.2⁶ + 252.2⁵ + 210.2⁴ + 120.2³ + 45.2² + 10.2¹ + 1.2⁰ =

1024 + 5120 + 11520 + 15360 + 13440 + 8064 + 3360 + 960 + 180 + 20 + 1 =

59049.

Perceba que o resultado obtido é o mesmo que 3¹⁰.