Question

Se raiz de 2 = 1,41, então tg de Pi/8 é aproximadamente igual a :

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre trigonometria.

Sabendo que $\sqrt{2}\approx1,41$, devemos calcular o valor de $\tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$.

Primeiro, lembre-se que $\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{\sin(\alpha)}{1+\cos(\alpha)},~\alpha\neq\pi+2k\pi,~k\in\mathbb{Z}$

Fazendo $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$, temos:

$\tan\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{4}}{2}\right)=\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}{1+\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}\\\\\\ \tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}{1+\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}$

Sabendo que $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, temos:

$\tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}}$

Some as frações no denominador e calcule a fração de frações

$\tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}}\\\\\\ \tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}\\\\\\ \tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$

Racionalize o denominador multiplicando a fração por um fator $\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}$

$\tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}\cdot\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}\\\\\\ \tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2-1}\\\\\\ \tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\sqrt{2}-1$

Substituindo $\sqrt{2}\approx1,41$, finalmente teremos:

$\tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\approx1,41-1\\\\\\ \tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\approx0,41~~\checkmark$

Este é o valor aproximado da tangente deste ângulo.