Question

Se r e s são as raízes de equação ax²+bx+c=0, com a e c são diferentes de 0, qual é o valor de 1/r² + 1/s² ?

Answer 1

Olá, Gabriel !

Observe que,

$\dfrac{1}{r^2}+\dfrac{1}{s^2}=\dfrac{r^2+s^2}{r^2s^2}$

A soma das raízes de uma equação do segundo grau, $ax^2+bx+c=0$ é dada por $S=\dfrac{-b}{a}$.

Assim, $r+s=\dfrac{-b}{a}$.

Elevando os dois lados ao quadrado, obtemos:

$r^2+2rs+r^2=\dfrac{b^2}{a^2}$

Por outro lado, o produto das raízes de uma equação do segundo grau é dado por $P=\dfrac{c}{a}$;

Deste modo, $r\cdot s=\dfrac{c}{a}$.

Assim, $2rs=\dfrac{2c}{a}$.

Lembrando que, $r^2+2rs+s^2=\dfrac{b^2}{a^2}$, temos:

$r^2+\dfrac{2c}{a}+s^2=\dfrac{b^2}{a^2}~~\Rightarrow~~r^2+s^2=\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2c}{a}=\dfrac{b^2-2ac}{a^2}$.

Elevando os dois lados de $rs=\dfrac{c}{a}$ ao quadrado, obtemos:

$r^2s^2=\dfrac{c^2}{a^2}$.

Logo, $\dfrac{1}{r^2}+\dfrac{1}{s^2}=\dfrac{r^2+s^2}{r^2s^2}=\dfrac{\dfrac{b^2-2ac}{a^2}}{\dfrac{c^2}{a^2}}=\dfrac{b^2-2ac}{c^2}$.