Question

Se (primeira imagem) e ab ≠ 0,o valor de (segunda imagem) é:

a) 1
b) 2
c) 1/2
d) 2/3
e) 3/2

Answer 1

Olá, primeiro vamos saber quanto é $(a^{2}+b^{2})^{3}$ e $(a^{3}+b^{3})^{2}$

Relembrando (1):
multiplicação de potencias de mesma base: repete a base e soma os expoentes

Relembrando (2):
$a^{2} = a\cdot a \\ a^{3} = a \cdot a \cdot a \\ a^{4} = a\cdot a \cdot a \cdot a$

Agora:

$(a^{2}+b^{2})^{3} = (a^{2}+b^{2})\cdot (a^{2}+b^{2}) \cdot (a^{2}+b^{2}) \\ \\ \\ \\ a^{2} \cdot a^{2}\cdot a^{2} =a^{6}\\ a^{2}\cdot a^{2}\cdot b^{2}=a^{4}\cdot b^{2} \\ a^{2}\cdot b^{2}\cdot a^{2} =a^{4}\cdot b^{2} \\ a^{2}\cdot b^{2}\cdot b^{2} =a^{2}\cdot b^{4} \\ \\ b^{2}\cdot a^{2}\cdot a^{2} =a^{4}\cdot b^{2} \\ b^{2}\cdot a^{2}\cdot b^{2}=a^{2}\cdot b^{4} \\ b^{2}\cdot b^{2}\cdot a^{2} =a^{2}\cdot b^{4} \\ b^{2}\cdot b^{2}\cdot b^{2}=b^{6} \\ \\ \\a^{6}+3 (a^{4} \cdot b^{2})+3(a^{2}\cdot b^{4}) + b^{6}$




$(a^{3}+b^{3})^{2} = (a^{3}+b^{3})\cdot (a^{3}+b^{3}) \\ \\ \\ \\ a^{3}\cdot a^{3} = a^{6} \\ a^{3}\cdot b^{3} \\ a^{3}\cdot b^{3} \\ b^{3}\cdot b^{3} = b^{6} \\ \\ \\ a^{6}+2( a^{3}\cdot b^{3} )+b^{6}$


Logo, $\boxed{\mathsf{3 (a^{4} \cdot b^{2})+3(a^{2}\cdot b^{4}) = 2( a^{3}\cdot b^{3} )}}$



$3 (a^{4} \cdot b^{2})+3(a^{2}\cdot b^{4}) = 2( a^{3}\cdot b^{3} ) \\ \\ 3 (a^{4} \cdot b^{2}+a^{2}\cdot b^{4}) = 2( a^{3}\cdot b^{3} ) \\ \\ a^{4} \cdot b^{2}+a^{2}\cdot b^{4} = \dfrac{2}{3} \cdot ( a^{3}\cdot b^{3} ) \\ \\ \\ \dfrac{a^{4} \cdot b^{2}+a^{2}\cdot b^{4}}{ a^{3}\cdot b^{3}} = \dfrac{2}{3} \\ \\ \\ \dfrac{a^{4} \cdot b^{2}}{ a^{3}\cdot b^{3}} + \dfrac{a^{2}\cdot b^{4}}{ a^{3}\cdot b^{3}} = \dfrac{2}{3}$

$\dfrac{a^{3}\cdot a \cdot b^{2}}{ a^{3}\cdot b^{2}\cdot b} + \dfrac{a^{2}\cdot b^{3}\cdot b}{ a^{2}\cdot a \cdot b^{3}} = \dfrac{2}{3} \\ \\ \\ simplificando\\ \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{\dfrac{a}{ b} + \dfrac{b}{ a} = \dfrac{2}{3} }}$


espero ter ajudado, qualquer dúvida comente embaixo! :)