Question

Se precisar é um número primo e p | aⁿ, com n>0. Prove que pⁿ | aⁿ.

Answer 1

Seja $a=a_1\times a_2\times\cdots\times a_m$ onde $a_i$ sao números primos para todo $i\in[1,m]\subset \mathbb N$
 
                             $p|a^n\equiv a^n=p\times k\\ \\ \\ (a_1\times \cdots \times a_m)^n=p\times k\\ \\ \\ \displaystyle a_i\times \left(a_i^{n-1}\times\prod_{\substack{j=1\\j\neq i}}^m a_j^n\right)=p\times k\\ \\ \\ p=a_i\\ \\ \\ \texttt{Agora veja isto}\\ \\ \\ a^n=a_1^n\times a_2^n\times\cdots \times a_i^n\times\cdots\times a_m^n\\ \\ \\ a^n=a_i^n\times \prod_{\substack{j=1\\j\neq i}}^m a_j^n\\ \\ \\ a^n=p^n\times \prod_{\substack{j=1\\j\neq i}}^m a_j^n\\ \\ \\ a^n=p^n\times k'\equiv p^n|a^n$