Question

Se possível, usando conceitos nível médio.

(Colégio Naval 2019) O resto de 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^2018 + 2^2019 por 7 é:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1

Answer 1

Resposta:

e) 1

Explicação passo-a-passo:

2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^2018 + 2^2019 é uma P.G. de razão 2 e a1 = 1. Então:

Soma de P.G. = a1(q^n - 1)/(q - 1)

Soma de P.G. = 1(2^2020 - 1)/(2 - 1)

Soma de P.G. = 2^2020 - 1

Agora usando congruência:

2^3 ≡ 1 mod(7)

(2^3)^673 ≡ 1^673 mod(7)

2^(2 . 673) ≡ 1 mod(7)

2^2019 ≡ 1 mod(7)

2^2019 . 2 ≡ 1 . 2 mod(7)

2^2020 ≡ 2 mod(7)

2^2020 - 1 ≡ 2 - 1 mod(7)

2^2020 - 1  ≡ 1 mod(7)