Question

se P0 = (x0,y0) e p1 = (x1, y2) com x0 = x1 e se P (x,y) pertence à reta t que passa por P0 e P1, o que voce pode dizer a respeito de x?
Qual é a equacao da reta t, nesse caso?

Answer 1

Tem várias maneiras de achar a reta que passa por dois pontos.

Obs.: estou usando P₁ = (x₁ , y₁)

1ª maneira:

Se x₀  = x₁, então a reta é vertical, ou seja, com equação x = x₀. Caso não seja x₀ = x₁, a equação da reta é da forma y = mx + n. Dai temos duas opçoes:

Ou resolver o sistema

y₀ = mx₀ + n

y₁ = mx₁ + n

que resultará em m = (y₁ - y₀) / (x₁ - x₀) e n = (x₁y₀ - x₀y₁ ) / (x₁ - x₀)

Outra maneira é decorar que m é a inclinação da reta, o famoso "delta y sobre delta x". Nesse caso a vantagem é que ja descobrimos de cara que m = (y₁ - y₀) / (x₁ - x₀), mas no fim das contas não muda tanto.

2ª maneira:

Outra maneira é observar que os pontos  (x₀, y₀), (x₁, y₁)  e (x,y) são colineares. Isso quer dizer que o determinante a seguir é nulo:

$\det \left[ \begin{array}{ccc} x_0 & y_0 & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x & y & 1 \end{array} \right] = 0$

Calculando esse determinante temos:

x₀y₁ + xy₀ + x₁y - xy₁ - x₀y  - x₁y₀ = 0

Organizando fica

x (y₀ - y₁) - y( x₀ - x) + (x₀y₁ - x₁y₀) = 0

3ª maneira:

Nessa observamos que os vetores P₁ - P₀ e P - P₀ são colineares. Assim tem mesmo declive:

(y - y₀) / (x - x₀) = (y₁ - y₀) / (x₁ - x₀)

Ou seja

(x - x₀) (y₁ - y₀) = (y - y₀) (x₁ - x₀)