Question

Se P (x) = x3 – 8 x2 + kx – m é divisível por (x – 2) (x + 1) então, qual o valor de k./m

Answer 1

Olá. Existe um teorema famoso para fatoração de polinômios, que eu chamo de "raiz implica fator", que afirma que se x=a anula uma expressão polinomial em x, então (x-a) é um fator dessa expressão. Se for de seu interesse, posso demonstra-lo.

Ele é útil se você alguma raíz de um polinômio de grau alto, então você pode fatorá-lo. Também é útil quando se sabe o teste das raízes racionais. Enfim.

Veja que a lógica contrária também se aplica. Se x-a é um fator dessa expressao, a é raíz desta expressão. Ou seja, para P(x), temos que x=2 e x=-1 são raízes.

P(2)=0 e P(-1)=0, agora é só resolver

P(2)=2³-8*2²+2k-m=0 (I)

8-32+2k=m (I)

P(-1)=(-1)³-8*(-1)²-k-m=0 (II)

-1-8-k=m (II)

Fazendo (II)=(I)

2k-24=-9-k

3k=15

k=5   Substituindo em (II)

-1-8-5=m

m = -14

Logo, k/m = -5/14