Question

Se P=q/1/3+1/5/2 , sendo p e q numeros inteiros positivos primos entre si, calcule p elevado a q

Answer 1

Olá.

 

Temos a expressão:

 

$\mathsf{P=q/1/3+1/5/2~~~\therefore~~~P=q\div1\div3+1\div5\div2}\\\\ \mathsf{P,q\in\mathbb{Z}^{\ast}}$

 

Para a resolução, seguimos a ordem de leitura (da esquerda para à direita), logo, podemos reescrever essa expressão da seguinte maneira:

 

$\mathsf{P=q\div1\div3+1\div5\div2}\\\\ \mathsf{P=\dfrac{q}{1}\div3+\dfrac{1}{5}\div2}$

 

O primeiro passo é resolver as divisões. Para isso, sigo a propriedade de inverter um número da divisão em forma de fração, invertendo o sinal comitantemente. Teremos:

 

$\mathsf{P=\dfrac{q}{1}\div3+\dfrac{1}{5}\div2}\\\\\\ \mathsf{P=\dfrac{q}{1}\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{P=\dfrac{q\cdot1}{1\cdot3}+\dfrac{1\cdot1}{5\cdot2}}\\\\\\ \mathsf{P=\dfrac{q}{3}+\dfrac{1}{10}}$

 

Podemos montar apenas uma fração, desde que os denominadores sejam iguais. Farei com os denominadores sejam iguais a 30, ao multiplicar a primeira fração por 10/10 e a segunda fração por 3/3 (no final, essas frações são iguais a 1, pois esse é o resultado de uma fração com valores iguais no numerador e no denominador). Teremos:

 

$\mathsf{P=\dfrac{q}{3}+\dfrac{1}{10}}\\\\\\ \mathsf{P=\dfrac{10}{10}\cdot\dfrac{q}{3}+\dfrac{3}{3}\cdot\dfrac{1}{10}}\\\\\\ \mathsf{P=\dfrac{10\cdot q}{10\cdot3}+\dfrac{3\cdot1}{3\cdot10}}\\\\\\ \mathsf{P=\dfrac{10q}{30}+\dfrac{3}{30}}\\\\\\ \mathsf{P=\dfrac{10q+3}{30}}$

 

Não é possível prosseguir, pois o valor de P não satisfaz o critério do enunciado (P ser um inteiro positivo).

 

Com base na fração final, para que o valor de P seja um inteiro, o numerador deveria ser um múltiplo do denominador, mas isso não acontece.

     Para que o numerador seja múltiplo de 30, ele deverá ser composto, no mínimo, pelo produto de 2, 3, 5.

     Para que um número seja múltiplo de 2, obrigatoriamente ele tem de ser par, mas no nosso caso, o número dos algarismos é ímpar (3).

     Ademais, um número será múltiplo de 5 quando terminar em 5 ou 0, o que também não acontece.

Com base no que foi falado acima, podemos afirmar que a expressão é inválida, pois não satisfaz os critérios dados.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$

Answer 2

$p = \frac{q}{ \frac{ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} }{2} } \\ \frac{p}{q} = \frac{ \frac{1}{3}.(5) + \frac{1}{5}.(3) }{2} \\ \frac{p}{q} = \frac{ \frac{5}{15} + \frac{3}{15} }{2} \\ \frac{p}{q} = \frac{8}{15} . \frac{1}{2} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15} \\ p = 15 \: e \: q = 4 \\ {p}^{q} = {15}^{4}$