Question

Se P é um ponto interno de um triangulo ABC, mostre que PB + PC < AB + AC

Answer 1

Construa um triângulo ABC qualquer; marque o ponto P interno ao triângulo; trace a semirreta $\overrightarrow{\mathsf{CP}}$; marque um ponto X na intersecção de $\overrightarrow{\mathsf{CP}}$ com o segmento $\overline{\mathsf{AB}}$.

Perceba que, por desigualdade triangular, no triângulo AXC

$\overline{\mathsf{PX}}+\overline{\mathsf{PC}}<\overline{\mathsf{AX}}+\overline{\mathsf{AC}}$

Pelo mesmo argumento, no triângulo XBP

$\overline{\mathsf{PB}}<\overline{\mathsf{BX}}+\overline{\mathsf{PX}}$

Somando-se as duas desigualdades

$\overline{\mathsf{PX}}+\overline{\mathsf{PC}} + \overline{\mathsf{PB}}<\overline{\mathsf{AX}}+\overline{\mathsf{AC}}+\overline{\mathsf{BX}}+\overline{\mathsf{PX}}\\\\\overline{\mathsf{PX}}\hspace{-11}\diagup+\overline{\mathsf{PB}}+\overline{\mathsf{PC}}<\underbrace{\overline{\mathsf{AX}}+\overline{\mathsf{BX}}}_{\overline{\mathsf{AB}}}+\overline{\mathsf{AC}}+\overline{\mathsf{PX}}\hspace{-11}\diagup\\\\\overline{\mathsf{PB}}+\overline{\mathsf{PC}}<\overline{\mathsf{AB}}+\overline{\mathsf{AC}}$