Question

Se os quadrados dos números × -2, × + 4 e × + 6 são nessa ordem, temos consecutivos de uma PA, calculem o valor de x e a razão dessa PA

Answer 1

Olá.

Então temos a P.A = {(x-2)², (x+4)², (x+6)²}

Temos que a razão de uma P.A pode ser obtida a partir da subtração de um termo pelo antecessor.
Segue exemplo:
$\mathsf{a_3-a_2=a_2-a_1}$

Nesse caso, faremos desse mesmo modo. A questão é que temos que usar produtos notáveis.
Usaremos as regras para o quadrado da soma e para o quadrado da diferença.
$\boxed{\mathsf{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}}\\\\ \boxed{\mathsf{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}}$

Vamos fazer da seguinte maneira:
$\mathsf{a_3-a_2=a_2-a_1}\\\\\\ \mathsf{(x+6)^2-(x+4)^2=(x+4)^2-(x-2)^2}\\\\ \mathsf{(x^2+12x+36)-(x^2+8x+16)=(x^2+8x+16)-(x^2-4x+4)}\\\\ \mathsf{x^2+12x+36-x^2-8x-16=x^2+8x+16-x^2+4x-4}\\\\ \mathsf{x^2-x^2+12x-8x+36-16=x^2-x^2+8x+4x+16-4}\\\\ \mathsf{4x+20=12x+12}\\\\ \mathsf{4x-12x=12-20}\\\\ \mathsf{-8x=-8\cdot(-1)}\\\\ \mathsf{8x=8}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{8}{8}}\\\\ \mathsf{x=1}$

Agora, vamos testar.
$\mathsf{P.A=\{(x-2)^2,~(x+4)^2,~(x+6)^2\}}\\\\ \mathsf{P.A=\{(1-2)^2,~(1+4)^2,~(1+6)^2\}}\\\\ \mathsf{P.A=\{(-1)^2,~(5)^2,~(7)^2\}}\\\\ \mathsf{P.A=\{1,~25,~49\}}$

Vamos testar se as razões são iguais:
$\mathsf{a_3-a_2=a_2-a_1}\\\\\mathsf{49-25=25-1}\\\\\boxed{\mathsf{24=24}}$

Como as razões são iguais, é comprovado que x é igual a 1.

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.