Question

Se os numeros x e y são tais que:

(x^3 - 4x^2 + 4x) / (x^3 - 6x^2 + 12x - 8)

Então y é igual a:

A- 1/2

B- (x-2)/(x+2)

C- (x+2)/2

D- x/(x-2)

Eu quero ententer a fatoracao, entao se possivel mastigue bem a resposta, obgd

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Vai ser bem extenso :v

Primeiro vamos começa o termo "x" em evidência no numerador, já que todos possuem "x".

$\dfrac{x {}^{3} - 4x {}^{2} +4x }{x {}^{3} - 6x {}^{2} + 12x - 8 } = \\ \\ \boxed{\dfrac{x . (x {}^{2} - 4x + 4)}{x {}^{3} - 6x {}^{2} + 12x - 8 }}$

Note que nessa "fatoração" surgiu um trinômio quadrado perfeito do tipo quadrado da soma, o que quer dizer que se tirarmos a raiz das extremidades e colocarmos na estrutura inicial dele, estaremos fatorando.

O quadrado da soma possui a forma:

$\boxed{(a + b) {}^{n} = a {}^{2} + 2.a.b + b {}^{2}} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ou \\ \boxed{(a - b) {}^{2} = a {}^{2} - 2.a.b + b {}^{2} }$

O nosso trinômio é "negativo", então é a segunda opção, vamos tirar as raízes das extremidades e colocá-lo na sua forma original (a - b)²:

$\boxed{(x {}^{2} - 4x + 4) } \\ \sqrt{x {}^{2} } = x \\ \sqrt{4} = 2 \\ \boxed{ \boxed{(x - 2) {}^{2} \: \: \: \: ou \: \: \: \: (x - 2).(x - 2)}}$

Sabendo da sua fatoração, vamos substituir no seu antigo local:

$\dfrac{x.(x - 2).(x -2)}{x {}^{3} - 6x {}^{2} + 12x - 8 }$

Note também que no denominador temos um produto notável chamado cubo da soma, podemos fazer a mesma coisa que fizemos anteriormente, tirar as raízes das extremidades e colocar na sua forma original.

O cubo da soma possui a foma:

$\boxed{(a + b) {}^{3} = a {}^{3} + 3.a {}^{2} .b + 3.a.b {}^{2} + b {}^{3} } \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ou \\ \boxed{(a - b) {}^{3} = a {}^{3} - 3. {a}^{2} .b + 3.a.b {}^{2} - b {}^{3} }$

O nosso cubo da soma é negativo, então é a segunda opção. Vamos tirar as raízes das extremidades e substituir na forma original:

$\boxed{x {}^{3} - 6x {}^{2} + 12x - 8} \\ \sqrt[3]{x {}^{3} } = x \\ \sqrt[3]{8} = 2 \\ \boxed{\boxed{(x - 2) {}^{3} \: \: \: ou \: \: (x - 2).(x - 2).(x - 2)}}$

Sabendo a sua fatoração, vamos substituir no seu antigo local:

$\dfrac{x.(x - 2).(x - 2)}{(x - 2).(x - 2).(x - 2)}$

Vamos "cortar" os termos semelhantes, sobrando apenas:

$\boxed{ \boxed{ \frac{x}{(x - 2)} }}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️