Se os lados AB, AC e BC de um triângulo ABC medem, respectivamente, 12 cm, 15 cm e 18 cm, e BD é a bissetriz do ângulo B, quanto medem os segmentos AD e DC?
Soluções para a tarefa
AD = 6 cm
DC = 9 cm
De acordo com o teorema da bissetriz interna, "uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes".
Portanto:
x = y
12 18
Multiplicando cruzado, temos:
12y = 18x (I)
A soma de x e y é igual a medida do lado AC. Logo:
x + y = 15
y = 15 - x (II)
Substituindo II em I, temos:
12.(15 - x) = 18x
180 - 12x = 18x
- 12x - 18x = - 180
- 30x = - 180
30x = 180
x = 180
30
x = 6
AD = 6 cm
O valor de y.
y = 15 - x
y = 15 - 6
y = 9
DC = 9 cm
Os segmentos AD e DC medem, respectivamente 6 cm e 9 cm.
Triângulos
Observando o triângulo da figura, podemos ver que a bissetriz em B divide o ângulo em duas partes iguais a θ. Podemos então aplicar o teorema da bissetriz interna:
- "A bissetriz interna divide o lado oposto em duas partes proporcionais aos seus lados adjacentes".
Portanto, o segmento medindo AD será proporcional a AB da mesma forma que o segmento medindo DC será proporcional a BC, logo:
AD/AB = DC/BC
AD/12 = DC/18
AD = DC·(2/3)
Do segmento AC, temos:
AD + DC = 15
DC = 15 - AD
Substituindo:
AD = (15 - AD)·(2/3)
AD = 10 - AD·(2/3)
(5/3)·AD = 10
AD = 10/(5/3)
AD = 6 cm
Logo, teremos:
DC = 15 - 6
DC = 9 cm
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