Question

Se o raio atômico do Molibdênio é 0,1363 nm, calcule o volume de sua célula unitária em metros cúbicos.

Answer 1

Uma questão de cristalografia é comumente mais associada à química, mas vamos respondê-la...
Primeiro, tente se concentrar bastante, porque é necessário uma visão espacial apurada para entender as deduções. Para facilitar, colocarei um anexo e  me basearei nele.

O molibdênio se comporta estruturalmente em cristais CCC (cúbicos de corpo centrado), isto é, na célula unitária de formato cúbico, 4 átomos se encontram nos vértices deste, enquanto que um último fica posicionado no centro do cubo. Considerando cada átomo como uma esfera de rario $R$ (que é dado na questão), então vamos obter o comprimento da aresta ($a$) desta célula unitária em função apenas do raio.

Perceba (no anexo) que existe um triângulo retângulo $\Delta OPQ$ que possui comprimentos bem favoráveis, pois utilizando geometria plana básica, chega-se que $PQ = \frac{a}{ \sqrt{2}}$ e que $OQ = \frac{a}{2}$. Além disso, na imagem do canto inferior esquerdo (do anexo), fica fácil perceber e comparar que $OP = 2R$. Apesar de não parecer, todas as esferas são idênticas (pois são todas átomos iguais - de molibdênio) e são tangentes entre si, permitindo concluir aquele valor para OP.

Em seguida, aplicaremos o teorema de Pitágoras no $\Delta OPQ$:

$(OP)^2 = (OQ)^2 + (QP)^2 \\ (2R)^2 = {\left( \frac{a}{2} \right)}^{2} + {\left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)}^{2} \\ (2R)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{2} \\ (2R)^2 = \frac{3a^2}{4} \\ a = 2R \sqrt{\frac{4}{3}}.$

Como a célula unitária é um cubo, seu volume $V$ é dado por:

$V = a^3 = \frac{32R^3}{3} \sqrt{\frac{4}{3}}.$

Como $R = 0,1363 nm = 1,363 \times 10^{-10} m$, então, tem-se ao substituir:

$V \cong 3,1188 \times 10^{-29} m^3.$