Question

Se o produto 25^64 . 64^25 é igual ao quadrado de um número inteiro positivo x, então a soma de todos os dígitos de x quando ele está escrito na sua representação decimal é igual a:

a) 7.

b) 12.

c) 14.

d) 21.

e) 28.

Answer 1

Resposta: c) 14

Explicação passo a passo:

Chamando de x o número esse produto é igual a x².

Então,

x² = 25^64 . 64^25

64 = 4³

x² = 25^64 . (4³)^25

x² = 25^64 . 4^75

x² = 25^64 . 4^64 . 4¹¹

x² = [(25)(4)]^64 .4¹¹

x² = (100)^64 . 4¹¹

x² = (100)^64 . 4^10 . 4

x = √[(100)^64 . 4^10 . 4]

x = 100³² . 4^5 . 2

x = 100³² . 1024 . 2

x = 100³² . 2048

x = 2048 . 100³²

x = 2048 seguido de 64 zeros[100^32 = 10^64]

Soma dos dígitos de x = 2 + 0 + 4 + 8 + 0 + 0...+ 0  = 14

Answer 2

Utilizando as propriedades da potenciação, temos como resultado que a soma de todos os dígitos será:

• c)14

Propriedades dos expoentes

As propriedades dos expoentes ou leis dos expoentes são usadas para resolver problemas envolvendo expoentes. Essas propriedades também são consideradas como regras de expoentes maiores a serem seguidas durante a resolução de expoentes. As propriedades dos expoentes são mencionadas abaixo.

• Lei do Produto:  $a^m . a^n = a^m^+^n$
• Lei do Quociente:  $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n$
• Lei do Expoente Zero: $a^0=1$
• Lei da Potência de uma Potência: $(a^m)^n = a^m^n$

Sendo assim podemos resolver:

$(5^2)^{64}.(2^6)^{25}=5^{128}.2^{150}=x^2\implies x^2 = 5^{128}.2^{128}.2^{22}\\\\x^2 = (10)^{128}.2^{22}\\\\\therefore x = 10^{64} .2^{11}=10^{64}.2^{10}.2=2048.\underbrace{10^{64}}_{0000...}\\\therefore \boxed{8+2+4 = 14}\color{}\checkmark$

Saiba mais sobre Propriedades da Potenciação: https://brainly.com.br/tarefa/51516690

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