Question

Se o ponto P(x,0) é equidistante dos pontos A(1,4) e B(-6,3), qual o valor de x?

Answer 1

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que  o valor de x = - 2.

Teorema:

A distância $\boldsymbol{ \textstyle \sf d_{AB} }$ entre dois pontos $\boldsymbol{ \textstyle \sf A\:(\: x_A, y_A\:) }$ e $\boldsymbol{ \textstyle \sf B\:(\: x_B, y_B\:) }$ é dada por:

$\large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{d_{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B- y_A)^2} } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf P\:(\:x, 0\:) \\ \\\sf A\:(\:1, 4\:) \\ \\\sf B\:(\:-6, 3\:) \\ \\\sf x = \:? \end{cases} } }$

Um ponto equidistante de outros dois pontos significa que a distância  são iguais entre eles.

Aplicando a definição da distância entre dois pontos, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B- y_A)^2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \sqrt{(x_P - x_A)^2 + (y_P- y_A)^2} = \sqrt{(x_P - x_B)^2 + (y_P - y_P)^2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \left(\sqrt{(x_P - x_A)^2 + (y_P- y_A)^2} \right)^2 = \left( \sqrt{ (x_P - x_B)^2 + (y_P - y_P)^2} \right)^2 } }$

$\large \displaystyle \mathsf{(x_P - x_A)^2 + (y_P- y_A)^2 = (x_P - x_B)^2 + (y_P - y_P)^2 }$

$\large \displaystyle \mathsf{(x -1 )^2 + (0 - 4)^2 = (x +6)^2 + (0 - 3)^2 }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} -2x +1 + (-4)^2 = x^{2} +12x + 36 + (- 3)^2 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} -2x +1 + 16 = x^{2} +12x + 36 +9 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} -2x +17 = x^{2} +12x + 45 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} - x^{2} -2x - 12x = 45 -17 } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ - 14x = 28 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 14x = - 28 }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x = -\: \dfrac{28}{14} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = -\: 2 }$

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