Question

Se o polinômio x^4-2x^2+mx+p é divisível por d(x)=x^2+1, o valor de m-p é?
A resposta é 3, como chegar a ela?

Answer 1

As raízes de d(x) são i e -i, pois:
$d(0) = x^{2} +1=0 \\ x^{2} =-1 \\ x = \sqrt{-1} ou -\sqrt{-1} \\ x_{1} = i$, $x_{2}= -i$

Como d(x) divide P(x), as raízes de d também são raízes de P.
Digamos que P tenha, então, raízes i, -i, r e s, lembrando que o polinômio completo será:
$x^4 + 0x^3 -2x^2+mx+p$

Temos as seguintes relações de Girard:

I)          p = r · s · i ·(-i) = rs(-i²) = rs(-1)(-1)
            p = rs                                  (1)

II)         -m = (r·s·i) + (r·s(-i)) + (r·i·(-i)) + (s·i·(-i)
            -m = -ri² -si²
            -m = r + s
            m = - (r + s)                        (2)

III)        -2 = rs + ri + r(-i) + si + s(-i) + i(-i)
            -2 = rs +1
            rs = -3, de (1) temos:
            p = -3                                  (3)

IV)       -0 = r + s + i + (-i)
            0 = r + s                              (4) 

Substituindo (4) em (2), temos:
             m = -(0)
             m = 0

Logo, fazendo m - p encontramos:
            m - p = 0 - (-3)
             ∴ m - p = 3