Question

Se o polinômio p(x) = x³ + ax² - 13x + 12 tem x = 1 como uma de suas raízes, quais são as outras raízes? *

Answer 1

O conjunto solução do polinômio é S={-3, 1, 4}.

• Resolvendo o problema

Se um número é uma raiz de um polinômio, então se substituirmos a incógnita x por esse valor, o resultado do polinômio será igual a zero. Logo,

$p(x)=x^3+ax^2-13x+12\\\\0=1^3+a\;.\;1^2-13\;.\;1+12\\\\0=1+a\;.\;1-13+12\\\\0=1+a-1\\\\a=0$

Então, na verdade, o polinômio é igual a

$p(x)=x^3+0x^2-13x+12$

e seus coeficientes são

$a=1;\;\;b=0;\;\;c=-13;\;\;d=12$

Usando as Relações de Girard e sabendo que já temos a primeira das raízes ($\mathbf{r_1=1}$), obtemos

$r_1+r_2+r_3=\dfrac{-b}{a}\\\\\\1+r_2+r_3=\dfrac{-0}{1}\\\\\\1+r_2+r_3=0\\\\\\r_2+r_3=0-1\\\\\\r_2+r_3=-1 \quad \rightarrow \quad Eq.\;1$

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$r_1\;.\;r_2+r_1\;.\;r_3+r_2\;.\;r_3=\dfrac{c}{a}\\\\\\1\;.\;r_2+1\;.\;r_3+r_2\;.\;r_3=\dfrac{-13}{1}\\\\\\r_2+r_3+r_2\;.\;r_3=-13\\\\\\-1+r_2\;.\;r_3=-13\\\\\\r_2\;.\;r_3=-13+1\\\\\\r_2\;.\;r_3=-12 \quad \rightarrow \quad Eq.\;2$

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Da equação 1, temos

$r_2=r_3-1$

e, substituindo esse valor na equação 2, obtemos

$(-1-r_3)\;.\;r_3=-12\\\\-(1+r_3)\;.\;r_3=-12\\\\(1+r_3)\;.\;r_3=12\\\\r_3^2+r_3-12=0$

Usando Bhaskara

$\text{Coeficientes: a = 1, b = 1 e c = -12}\\\\\Delta=b^2-4\;.\;a\;.\;c=1^2-4\;.\;1\;.\;-12=1+48=49\\\\r_3=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\;.\;a}=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{2\;.\;1}=\frac{1\pm7}{2}\\\\r_{3(1)}=\frac{1+7}{2}=\frac{8}{2}=4\\\\r_{3(2)}=\frac{1-7}{2}=\frac{-6}{2}=-3$

• Conclusão

Portanto, o conjunto solução do polinômio é S={-3, 1, 4}.

• Para saber mais

https://brainly.com.br/tarefa/27736577